實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的勾股定理是復(fù)數(shù)勾股定理的特殊形式。勾股定理反映的是三個(gè)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)之間關(guān)系的定理。在復(fù)平面上，僅有相互垂直且實(shí)部與虛部有特定關(guān)系的復(fù)數(shù)才滿足勾股定理。

具體地說就是任意一個(gè)復(fù)數(shù) a+bi，必定存在 b-ai 與它垂直，以 a+bi 與 b-ai 的模長(zhǎng)為邊可作一直角三角形，這個(gè)直角三角形的斜邊是一個(gè)復(fù)數(shù)，且這個(gè)斜邊是由 a+bi 與 b-ai 的模唯一確定的。假定它是 c+di ，則? a+bi 的模長(zhǎng)的平方與 b-ai 的模長(zhǎng)的平方之和等于 c+di 的模長(zhǎng)的平方，可以總結(jié)成下面這個(gè)公式。因?yàn)檫@個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度可以分別看作對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，于是寫成下面這種形式，norm 代表復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)。

norm(m(a+bi))^2+norm(n(b-ai))^2＝norm(c+di)^2? ? ? ? ? ?公式一

雖然勾股定理在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)普遍成立

，但為了與傳統(tǒng)意義上的勾股定理保持一致，式中所有的字母都取整數(shù)且不能為零。

m(a+bi) 仍為復(fù)數(shù)，norm(m(a+bi))^2表示 m(a+bi) 這個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的平方

，余類推。

式中，m，n 是系數(shù)，它能夠保證這些復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)都是整數(shù)。

并非所有相互垂直的復(fù)數(shù)都滿足上式

，只有實(shí)部與虛部存在上述關(guān)系時(shí)才成立。即只有象 a+bi 與 b-ai 這樣的一對(duì)復(fù)數(shù)才滿足勾股定理。在這里，a 和

b 是可以相等的，即 a+ai 與 a-ai 這樣的一對(duì)復(fù)數(shù)也滿足勾股定理。

由以上分析知道，在某些條件滿足的前題下，勾股定理在復(fù)數(shù)域內(nèi)也是成立的。舉例如下：

3+3i 與 3-3i 互相垂直

(norm(3+3i))^2+(norm(3-3i))^2＝6^2

說明：分別以 3+3i 和 3-3i 的模長(zhǎng)為直角邊作一直角三角形，斜邊長(zhǎng)度等于6。

3(3+4i) 與 4(4-3i) 互相垂直

norm(3(3+4i))^2+norm(4(4-3i))^2＝25^2

說明：分別以 3(3+4i) 和 4(4-3i) 的模長(zhǎng)為直角邊作一直角三角形，斜邊長(zhǎng)度等于25。余類推。

norm(21(5+12i))^2+norm(20(12-5i))^2＝377^2

……

對(duì)于任意一個(gè)復(fù)數(shù) a+bi ，由于復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和純虛數(shù)，因此，復(fù)數(shù) a+bi 可以看成是復(fù)數(shù) a 與復(fù)數(shù) bi 的和。由于a和 bi 相互垂直，且 a 的模是 a，bi 的模是 bi，所以 a+bi 的模的平方等于 a的模的平方加上 bi 的模的平方，即

norm(a)^2+norm(bi)^2＝norm(a+bi)^2

上式表明，a+bi 的模的平方等于 a 的模的平方加 bi 的模的平方。推導(dǎo)如下

先給出兩對(duì)復(fù)數(shù) a+0i 和0-ai，0+bi 和 b-0i

norm(a+0i)^2+norm(0-ai)^2＝norm(a-ai)^2

norm(0+bi)^2+norm(b-0i)^2＝norm(b+bi)^2

由于 a 的 模長(zhǎng)與 -ai 的模長(zhǎng)相等，即

norm(a)^2+norm(-ai)^2＝2norm(a)^2

同理，norm(bi)^2+norm(b)^2＝2norm(bi)^2

norm(a-ai)^2+norm(b+bi)^2=2norm(a+bi)^2

所以，2norm(a)^2+2norm(bi)^2=2norm(a+bi)^2

等式兩邊同除以2，得

norm(a)^2+norm(bi)^2=norm(a+bi)^2

這個(gè)式子就是任意復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式。

因此，實(shí)數(shù)的勾股定理是復(fù)數(shù)的勾股定理的特殊形式。

(3+i)^2+(3-i)^2＝4^2? 不滿足勾股定理

，因?yàn)?3+i 與 3-i 不垂直。

(norm(3+3i))^2+(norm(3-3i))^2＝6^2

滿足勾股定理，因?yàn)?3+3i 與 3-3i 互相垂直，因此，以 3+3i 與 3-3i 為直角邊的三角形，斜邊長(zhǎng)度等于6。

(norm(3+4i))^2+(norm(4-3i))^2＝50

不滿足勾股定理，因?yàn)橐?3+4i 和 4-3i

為直角邊的直角三角形，斜邊是√50，不是整數(shù)(文中所有代表數(shù)的字母都代表整數(shù))。

象這樣相互垂直的兩個(gè)復(fù)數(shù)的平方和等于0。

a+bi 與 b-ai 互相垂直

a+ai 與 a-ai 互相垂直

(3+4i)^2+(4-3i)^2＝0

(a+bi)^2+(b-ai)^2＝0

(4-3i)^2+(-3-4i)^2＝0

......

下面再舉幾例：

norm(3(3+4i))^2+norm(4(4-3i))^2＝25^2

norm(3)^2+norm(4i)^2＝norm(3+4i)^2

(norm(21(5+0i))^2+norm(3(0+12i))^2)＝111^2

上式還可以寫成

21^2×5^2+3^2×12^2=111^2，得

441^2×5^2+9×12^2=111^2

……

總結(jié)得出，m?a^2+n?b^2＝c^2，這就是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)勾股定理的一般形式。

下面這個(gè)例子說明了系數(shù) m，n 在公式一中的作用。

norm(21(5+12i))^2+norm(3(12-5i))^2＝275.7716447^2

norm(21(5+12i))^2+norm(20(12-5i))^2＝377^2

調(diào)整公式一中的系數(shù)，可以使得公式右端的數(shù)能夠?qū)懗烧麛?shù)的平方的形式

。

勾股定理反映的是復(fù)數(shù)之間的關(guān)系，從此刻起，我用滿足勾股定理的復(fù)數(shù)代指勾股數(shù)，例如，勾股數(shù) (3,4,5)，等價(jià)于復(fù)數(shù) 3+4i。勾股數(shù) a+bi 的模的平方等于復(fù)數(shù) a 的模的平方與復(fù)數(shù) bi 的模的平方之和，這已經(jīng)在前文提到過了。

下面給出幾個(gè)與勾股數(shù)有關(guān)的定理。

①? 勾股數(shù)的無(wú)窮乘積是勾股數(shù)。

②? 勾股數(shù)的 N 次方是勾股數(shù)。

③? 非勾股數(shù)的平方一定是勾股數(shù)。

④? 勾股數(shù)的整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)。

⑤? 非勾股數(shù)的偶數(shù)次冪是勾股數(shù)，勾股數(shù)的奇數(shù)次冪不是勾股數(shù)。

⑥? 由兩個(gè)勾股數(shù)與一個(gè)非勾股數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列中，非勾股數(shù)是等比中項(xiàng)

。

(3+4i)(4+7i)(5+12i)

(4+7i)/(3+4i)＝1.6+0.2i

(5+12i)/(4+7i)＝1.6+0.2i

(4+7i)2＝(3+4i)(5+12i)

norm(4+7i)/norm(3+4i)＝1.61245155

（無(wú)理數(shù)）

norm(5+12i)/norm(4+7i)＝1.61245155…（無(wú)理數(shù)）

可見 3+4i 4+7i 5+12i 這三個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)值構(gòu)成了等比數(shù)列。

norm(3+4i)＝5

norm(4+7i)＝√65

norm(5+12i)＝13

即 5? √65 13 構(gòu)成等比數(shù)列。

可見，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的等比數(shù)列是復(fù)數(shù)等比數(shù)列的又一特殊形式，它反映了復(fù)數(shù)模長(zhǎng)之間的比例關(guān)系。

由于勾股定理在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，下面以勾股數(shù) 3+4i 為例延伸一下勾股定理。根據(jù)定理④，勾股數(shù)的整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)，其實(shí)，把整數(shù)換成實(shí)數(shù)這一結(jié)論仍然成立。比如，0.3+0.4i 這個(gè)勾股數(shù)，它的模norm(0.3+0.4i)＝0.5，以勾股定理的常見形式寫出來(lái)就是 0.32+0.42＝0.52，同理可知

0.032+0.042＝0.052

0.0032+0.0042＝0.0052

0.00032+0.00042＝0.00052

.......

將上面這些式子用科學(xué)記數(shù)法表示成

(3E?1)2+(4E?1)2＝(5E?1)2

(3E?2)2+(4E?2)2＝(5E?2)2

(3E?3)2+(4E?3)2＝(5E?3)2

(3E?4)2+(4E?4)2＝(5E?4)2

(3E?5)2+(4E?5)2＝(5E?5)2

……

由于 E?10＝1埃＝1埃(?)，所以

(3E?10)2+(4E?10)2＝(5E?10)2又可以寫成

(3?)2+(4?)2＝(5?)2，寫成復(fù)數(shù)的形式就是 3?+4?i。

數(shù)學(xué)中有一種映射叫共形影射，又稱保角映射，即直角在共形影射中仍被影射為直角，在拓?fù)鋵W(xué)中定義的曲面是它的每一點(diǎn)有同胚于平面的鄰域，因此，只要在曲面上存在直角，那么勾股定理就依然在曲面上有效。當(dāng)直角三角形的邊都按同一比例趨于無(wú)限小的時(shí)候，勾股定理仍然有效。勾股定理在空間變換的過程中保持形式不變，這一性質(zhì)可以推廣到一般形式。我猜想勾股數(shù)對(duì)方程的求解具有重要的意義。

其它幾條定理我就不例舉說明了，可以檢驗(yàn)它們都是正確的，但我無(wú)法給出證明。

下面談一下與勾股數(shù)有關(guān)的數(shù)列，參看下面這張圖表。

表中每一行的復(fù)數(shù)都是勾股數(shù)，每一行的勾股數(shù)都與等差數(shù)列有關(guān)，即只要知道了每一行的第一個(gè)勾股數(shù)，利用等差數(shù)列運(yùn)算就可以求出跟在后面的勾股數(shù)。當(dāng)然這些勾股數(shù)間的運(yùn)算也可以用矩陣加法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)。

用復(fù)數(shù)證明勾股定理

因?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)的積是一個(gè)完全平方數(shù)

，即 (a+bi)(a-bi)＝c^2，復(fù)數(shù) a+bi 的模 norm(a+bi)＝√(a^2+b^2) 與共軛復(fù)數(shù)的積 (a+bi)(a-bi) 開方后相等，即 √(a^2+b^2)＝√((a+bi)(a-bi))，所以?

√(a^2+b^2)＝√c^2，兩邊平方，得 a2+b2＝c2

勾股數(shù)的矩陣運(yùn)算

2(3+4i)? 5(3+4i)? ? ? ? ?4(4-3i) 10(4-3i)

7(3+4i)? 3(3+4i)? ? ? ? ?9(4-3i)? ?8(4-3i)

2(3+4i)?4(4-3i)+5(3+4i)?9(4-3i)=

1272+371i

2(3+4i)10(4-3i)+5(3+4i)8(4-3i)=

1440+420i

7(3+4i)4(4-3i)+3(3+4i)9(4-3i)=

1320+385i

7(3+4i)10(4-3i)+3(3+4i)8(4-3i)=

2256+658i

1272+371i? ? ? 1440+420i

1320+385i? ? ? 2256+658i

(1272+371i)(2256+658i)＝2625514+1673952i (勾股數(shù))

(1440+420i)(1320+385i)＝1739100+1108800i (勾股數(shù))

(1272+371i)(2256+658i)+(1440+420i)(1320+385i)=

4364614+2782752i (勾股數(shù))

對(duì)于任意復(fù)數(shù)，下式成立。

(a+bi)(b-ai)＝c+di

c＝2ab，d＝(a+b)(b-a)

如果矩陣中的元素都相同，下面是二階方陣的乘法運(yùn)算。

令 a+bi＝n，(a+bi)2＝n2，上面的矩陣又可以寫成下面的形式：

把 2 提出到這個(gè)矩陣的外面，得到

當(dāng) n＝1+i 時(shí)，? 2n2＝2(1+i)2=4i

當(dāng) n＝2+2i 時(shí)，2n2＝2(2+2i)2=16i

當(dāng) n＝3+3i 時(shí)，2n2＝2(3+3i)2=36i

當(dāng) n＝4+4i 時(shí)，2n2＝2(4+4i)2=64i

當(dāng) n＝5+5i 時(shí)，2n2＝2(5+5i)2=100i

當(dāng) n＝6+6i 時(shí)，2n2＝2(6+6i)2=144i

當(dāng) n＝7+7i 時(shí)，2n2＝2(7+7i)2=196i

當(dāng)復(fù)數(shù) a+bi 的虛部 b＝0 時(shí)，得到

當(dāng) n＝1 時(shí)，2n2＝2×12=2

當(dāng) n＝2 時(shí)，2n2＝2×22=8

當(dāng) n＝3 時(shí)，2n2＝2×32=18

當(dāng) n＝4 時(shí)，2n2＝2×42=32

當(dāng) n＝5 時(shí)，2n2＝2×52=50

當(dāng) n＝6 時(shí)，2n2＝2×62=72

當(dāng) n＝7 時(shí)，2n2＝2×72=98

這些值與原子核外電子的排布規(guī)律相同，我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)值的排列也與等差數(shù)列相關(guān)。

2+6＝8

8+10＝18

18+14＝32

32+18＝50

50+22＝72

72+26＝98

第一個(gè)加數(shù)從 2 開始與一個(gè)等差數(shù)列中的數(shù)次第相加，第二個(gè)加數(shù)從 6 開始次第與那個(gè)等差數(shù)列的公差相加。

聯(lián)系原子中電子的排布，顯然，我們對(duì)電子的排布規(guī)律認(rèn)識(shí)的并不全面。電子在復(fù)空間中的軌道數(shù)量會(huì)翻倍。

下面說一個(gè)與勾股數(shù)有關(guān)的復(fù)變函數(shù)冪函數(shù)。前面我們提到說勾股數(shù)的 N 次冪是勾股數(shù)，這里設(shè) z 是勾股數(shù)(復(fù)數(shù))為一個(gè)復(fù)變量，冪函數(shù)ω＝z^α，α是一個(gè)常數(shù)，取值為任意正整數(shù)，則冪函數(shù)的值是勾股數(shù)，這是一個(gè)從勾股數(shù)空間到勾股數(shù)空間的映射。

勾股數(shù)的乘法構(gòu)成一個(gè)乘法群，因?yàn)棰?勾股數(shù)的無(wú)窮乘積是勾股數(shù)。

② 滿足結(jié)合律。

③ 單位元是 1。

④ 逆元是勾股數(shù)的倒數(shù)。

所以勾股數(shù)構(gòu)成了乘法群。