如果n和d都是不等于0的整數(shù)，那么如果出現(xiàn)一個(gè)不等于0的整數(shù)q，使得n=dq成立，我們可以說(shuō)d能整除n：

如果m和n都是不等于0的整數(shù)，而m和n都能被d整除，那么d就是n和m的公因(common divisor)

而最大公約數(shù)(greatest common divisor)就是兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)的最大公因，顧名思義。

如果一組整數(shù)的最大公約數(shù)為1，那么這些整數(shù)就是相對(duì)素?cái)?shù)(relatively prime)

唯一分解：

一個(gè)大于2的整數(shù)，如果p=nm，而n或m為1，那么p就是素?cái)?shù)(prime)。

等同關(guān)系與同于(equivalence relation and congruences)

我們說(shuō)S是一個(gè)集，那么S的等同關(guān)系，就意味著有個(gè)關(guān)系，姑且稱之為x~y，這關(guān)系意對(duì)于在S的成員（對(duì)）內(nèi)，滿足這情況：

1. 對(duì)于S的每個(gè)成員，x~x

2. 如果x~y而y~z，那么x~z

3. 如果x~y，那么y~x

我們?cè)赟有一個(gè)等同關(guān)系下，x作為S的一個(gè)成員，作為一個(gè)等同與x的集，根據(jù)上面的說(shuō)明，意味著的每一個(gè)成員都等同于其他成員。

說(shuō)起來(lái)麻煩，就用例子。

讓n是正整數(shù)，x和y是整數(shù)，我們先說(shuō)x同于(y mod n)，存在整數(shù)m，使得x-y=mn。

也就是說(shuō)在n生成的理想中，存在著x-y。如果n不等于0，就等于x-y可以被n整除，所以我們可以寫(xiě)成這樣：

要證實(shí)其等同關(guān)系，我們就要證實(shí)這幾點(diǎn)：

1. 

2. 如果和，那么

3. 如果，那么

同于性質(zhì)也可以進(jìn)一步延申：

1. 如果，而z是整數(shù)，那么

2. 如果，，那么和

這個(gè)延申可以如此證明：

x=y+mn，zx=yz+mnz，mnz可以縮寫(xiě)成wn，w=mz

這樣的話xz=yz+wn(mod n)，延申1成立

延申2第一部分：

x=y+mn, x'=y'+m'n，

xx'=(y+mn)(y'+m'n)

xx'=yy'+mny'+ym'n+mm'nn。

讓w=my'+ym'+mm'n為w，就形成xx'=yy'+wn，延申2成立

延申2的第二部分：

x=y+mn, x'=y'+m'n,

x+x'=y+y'+mn+m'n

讓w=m+m'，可以形成x+x'=y+y'+wn，延申2第二部分成立。

第一章完