首先推薦一個B站的up主：來車車厘子。他在遞推數(shù)列的視頻中詳細講解了單調(diào)有界準則，講解非常到位，非常具有啟發(fā)性。我認為看懂了他的視頻，遞推數(shù)列就沒有什么問題了。 進入正題。單調(diào)有界準則適用于求解抽象極限的極限存在性問題。這是一個通法思路，并不僅僅就只是適用于遞推數(shù)列。只是根據(jù)題目不同，求解單調(diào)性有界性的方式不同而已。對于單調(diào)性，函數(shù)極限，主要是判斷f(x)的單調(diào)性。而數(shù)列極限則是經(jīng)常通過判斷相鄰?fù)梄n+1和Xn的大小關(guān)系判斷單調(diào)性。 一：單調(diào)性證明： (1)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性。這個適用于函數(shù)極限以及給出通項表達式Xn＝f(n)的數(shù)列極限。通過比較導(dǎo)數(shù)和0的大小關(guān)系判斷單調(diào)性?！?單調(diào)遞增，≤0單調(diào)遞減。這里要和遞推數(shù)列的導(dǎo)數(shù)法加以區(qū)別。 (2)遞推法判斷單調(diào)性。這是數(shù)列極限最常使用的判斷單調(diào)性的方法。主要是構(gòu)造相鄰?fù)椀牟? Xn+1-Xn＝A(Xn-Xn-1) 如果A≥0，那么相鄰兩項符號相同，數(shù)列單調(diào)，反之數(shù)列不單調(diào)。特殊地，面對遞推數(shù)列： Xn+1＝f(Xn)的形式，可以利用拉格朗日中值定理構(gòu)造上述等式。 Xn+1-Xn＝f(Xn)-f(Xn-1)＝f'(cn)(Xn-Xn-1) 此時，如果判斷f'(x)≥0，則數(shù)列單調(diào)，然后通過判斷X2和X1的大小關(guān)系判斷遞增遞減。相當于數(shù)歸法。反之，f'(x)＜0，數(shù)列不單調(diào)。 (3)作差作商法。構(gòu)造Xn+1-Xn，判斷≥0單調(diào)遞增，≤0單調(diào)遞減。構(gòu)造Xn+1/Xn，判斷≥1單調(diào)遞增，≤1單調(diào)遞減。這個通常通過構(gòu)造不等式判斷。 (4)函數(shù)單調(diào)性。這個主要是通過單調(diào)函數(shù)的值的大小去反向判斷Xn+1和Xn的大小關(guān)系。這個在難題中非常常見。主要思想是： 如果存在f(x)單調(diào)遞增，而f(Xn+1)≥f(Xn)那么Xn+1≥Xn。如果f(Xn+1)≤f(Xn)，則Xn+1≤Xn。f(x)單調(diào)遞減同理可推。 這種判斷方法主要應(yīng)用于遞推數(shù)列的推廣： g(Xn+1)＝f(Xn) 首先判斷g(Xn+1)和f(Xn+1)的大小關(guān)系?？梢酝ㄟ^作差法判斷和0的關(guān)系得到。然后通過判斷f(Xn+1)和f(Xn)的大小關(guān)系，從而根據(jù)f(x)的單調(diào)性判斷Xn+1和Xn的大小關(guān)系。 這種題目有一個重要實例就是方程列問題。 數(shù)列Xn是方程列Fn(x)＝0的根。這種題目通常使用上面介紹的函數(shù)單調(diào)性逆推來判斷單調(diào)性。 (5)反證法，斷言，分類討論。反證法有很多形式，也是一種通用方法。比如說假設(shè)f(x)不單調(diào)，帶入條件中。 (6)還有一些細粒度的方法。通過在關(guān)系式中引入不等式，拉格朗日中值定理去結(jié)合上面的思想判斷單調(diào)性。 二：有界性證明。 (1)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間必有界。這個可以推廣。在開區(qū)間情況下，連續(xù)函數(shù)左右區(qū)間極限存在，函數(shù)依然有界。 (2)極限的局部有界性。這也是判斷證明函數(shù)，數(shù)列有界的方式。主要是通過寫出極限定義，構(gòu)造 |f(x)|≤m，證明有界。 (3)數(shù)歸法。這是數(shù)列極限最常用的有界性證明。至于界的尋找主要有兩種情況比較多見。一個是從X1中找界。一個是和單調(diào)性證明結(jié)合。因為單調(diào)性證明中，導(dǎo)數(shù)很可能不恒正恒負，這就需要先判斷范圍也就是有界性，再去判斷單調(diào)性。 (4)最值問題。尋找函數(shù)的最值，找到上下界。 (5)不等式放縮。 單調(diào)有界準則是解決抽象極限的其中一種方法，后續(xù)方法之后介紹。