聊一種特殊的二階線性非齊次微分方程：常系數(shù)線性非齊次微分方程。

接著給“效用論”開個頭。

part 1 同濟《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

二階線性非齊次微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。

將上面非齊次方程中的P（x）和Q（x）換成常數(shù)p、q，即得到——

常系數(shù)非齊次線性微分方程——形如d^y/dx^2+p dy/dx+q y=f（x）的微分方程。

上一次聊了二階線性齊次微分方程求通解的方法——

1. 寫出微分方程的特征方程；

2. 判斷特征方程解的情形；

3. 按照三種情形寫下通解，可以直接把通解背下來，也可以從特征方程直接推。

我們學(xué)過二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)的相關(guān)定理——

定理三：設(shè)y*（x）是二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一個特解，Y(x)是該方程對應(yīng)的齊次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二階非齊次線性微分方程的通解。

所以，我們只需要解決求得二階線性非齊次微分方程的一個特解y*的方法即可。

書上列舉了兩種常見形式，不用積分即可求出——

1. f（x）=Pm（x）e^（lx）——其中l(wèi)是常數(shù)，Pm（x）是x的一個m次多項式：

   Pm（x）=a0x^m+a1x^（m-1）+……+am-1x+am；

2. f（x）=e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]，其中l(wèi)、w是常數(shù)，Pl（x）、Pn（x）分別是x的l次、n次多項式，且有一個可為零。

類型一——

y"+py'+qy=Pm（x）e^（lx）——“待定系數(shù)法”——

1. 令y*=Q（x）e^（lx）；

2. y*'=e^（lx）[lQ（x）+Q'（x）]；

3. y*"=e^（lx）[l^2Q（x）+2lQ'（x）+Q"（x）]；

4. 將1、2、3代入上述非齊次方程，y"+py'+qy=e^（lx）[l^2Q（x）+2lQ'（x）+Q"（x）]+pe^（lx）[lQ（x）+Q'（x）]+qQ（x）e^（lx）=Pm（x）e^（lx），即Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）?！渲写ǖ牟糠志褪呛瘮?shù)Q（x）的取值。

注意到l^2+pl+q與該方程對應(yīng)的齊次方程的“特征方程”形式相同，下面按照l的情況進行分類討論——

情形一：l不是特征方程x^2+px+q=0的解，即l^2+pl+q不為0——

分析：Pm（x）是一個關(guān)于x的m次多項式，所以Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）也是一個關(guān)于x的m次多項式。

過程——

1. 設(shè)Q（x）=Qm（x）=b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm；

2. Q'（x）=Q'm（x）=b0x^（m-1）+b1x^（m-2）+……+bm-2x+bm-1；

3. Q"（x）=Q"m（x）=b0x^（m-2）+b1x^（m-3）+……+bm-3x+bm-2；

4. 將Q（x）、Q'（x）、Q"（x）代入原方程，合并同類項，左右同次項相等，即可解出所有系數(shù)bi，即得到Q（x）。

情形二：l是特征方程x^2+px+q=0的解，且方程x^2+px+q=0有兩個不相等的解，則l不等于-（p/2），即2l+p不為0——

分析：原方程Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）可簡化為Q"（x）+（2l+p）Q'（x）=Pm（x），Pm（x）是一個關(guān)于x的m次多項式，所以Q"（x）+（2l+p）Q'（x）也是一個關(guān)于x的m次多項式，那么Q（x）是一個關(guān)于x的m+1次多項式。

過程——

1. 設(shè)Q（x）=xQm（x）=x[b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm]=b0x^（m+1）+b1x^m+……+bm-1x^2+bmx；

2. 剩余步驟同情形一。

情形三：：l是特征方程x^2+px+q=0的解，且方程x^2+px+q=0有兩個相等的解，則l=-（p/2），即2l+p=0——

分析：原方程Q"（x）+（2l+p）Q'（x）+（l^2+pl+q）Q（x）=Pm（x）可簡化為Q"（x）=Pm（x）。

過程——

1. 設(shè)Q（x）=x^2Qm（x）=x^2[b0x^m+b1x^（m-1）+……+bm-1x+bm]=b0x^（m+2）+b1x^（m+1）+……+bm-1x^3+bmx^2；

2. 剩余步驟同情形一。

綜上——y"+py'+qy=Pm（x）e^（lx）具有形如y*=x^kQm（x）e^（lx）的特解，k=0、1或2。

明天講類型二。

part 2.1?經(jīng)濟學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學(xué)》第三章：效用論——

第一節(jié)引入效用的概念——

效用——效用是指對商品滿足人的欲望的能力評價，或者說，效用是指消費者在消費商品時，所感受到的滿意程度?！环N主觀心理評價。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計量單位。

2. 序數(shù)效用論：無差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

明天進入邊際效用分析法。

part 2.2?經(jīng)濟學(xué)概念——曼昆

曼昆《經(jīng)濟學(xué)原理》第二章最重要的內(nèi)容是兩個最基本模型，第二個是——

productions possibilities frontier生產(chǎn)可能性邊界——

1. 商品組合可能性的圖線，以兩種商品的關(guān)系來分析；

2. 大多為弓形；

3. 分析斜率可以得到機會成本；

4. 對某種產(chǎn)品的生產(chǎn)力改變，會帶來圖線改變。

明天繼續(xù)！