????????認(rèn)識(shí)反雙曲函數(shù)，我們也從一個(gè)熟悉的角度。

????????在做奇偶函數(shù)題目中，一定有幾個(gè)函數(shù)常常映入眼簾。

????????容易證明，為奇函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，為奇函數(shù)。

????????其實(shí)，這三個(gè)函數(shù)分別為反雙曲正弦函數(shù)、反雙曲余弦函數(shù)、反雙曲正切函數(shù)。

????????分別記作

????## 注意：這里不是arc開頭，而是ar開頭，是因?yàn)檫@里ar表示area（面積），而不是arc（?。?。

????????所以，這些名稱是怎么來的？

????????首先，我們需要了解雙曲函數(shù)，可以參考以下鏈接。

????????反雙曲函數(shù)，顧名思義就是雙曲函數(shù)的反函數(shù)。

? ? ? ? 那么，對于雙曲正弦函數(shù)

????????取其反函數(shù)

????????化簡為關(guān)于的一元二次方程，得到

????????解得

????????或

????????所以

????????這就是反雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式，記作

????????同樣的，對于反雙曲余弦函數(shù)

? ? ????取其反函數(shù)

? ? ????化簡為關(guān)于的一元二次方程，得到

? ? ????解得

????????或

????????人為規(guī)定，取第一個(gè)等式成立。我們得到

? ? ????這就是反雙曲余弦函數(shù)的表達(dá)式，記作

????## 事實(shí)上，其間關(guān)系如圖所示。

? ? ????同樣的，對于反雙曲正切函數(shù)

? ? ????取其反函數(shù)

? ? ? ? 化簡為關(guān)于的一元二次方程，得到

? ? ? ? 解得

????????或

? ? ????所以

? ? ????這就是反雙曲正切函數(shù)的表達(dá)式，記作

面積函數(shù)的由來

????????反雙曲函數(shù)，又稱面積函數(shù)。

????????圖中雙曲線為

????????過E點(diǎn)直線為

????????考察圖中雙曲扇形ACBD的面積，我們發(fā)現(xiàn)

????## 這里用到積分公式

????????同時(shí)，我們有

反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

????????來看反雙曲正弦函數(shù)。

????## 這里

????????再來看反雙曲余弦函數(shù)。

? ? ## 這里

????????再來看反雙曲正切函數(shù)。

????????限于篇幅與繁復(fù)的計(jì)算，下面不加證明地給出剩余幾個(gè)反雙曲函數(shù)的定義及諸多相關(guān)式子。

????## 看起來和反雙曲正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相同，但兩者定義域不同！

????????另外，我們有