【種花家務(wù)·代數(shù)】1-3-08整式的除法『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』

2023-09-23 10:35 作者:山嵓 0人讀過(guò) | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第三章整式? ?

§3-8整式的除法

1、同底數(shù)的冪的除法

【01】讓我們計(jì)算：a?÷a2 (a≠0)? 。

【02】在代數(shù)除法里，表示被除數(shù)的代數(shù)式叫做被除式，表示除數(shù)的代數(shù)式叫做除式，所得的結(jié)果叫做商。

【03】這里，被除式 a? 與除式 a2 都是以 a 做底數(shù)的冪，所以這個(gè)除法叫做同底數(shù)的冪的除法。在除法里，因?yàn)槌龜?shù)不能是零，所以這里要規(guī)定 a≠0? 。（以后遇到除法時(shí)，我們都假定除式的值不是零）

【注】記號(hào)“≠”讀作“不等于”。

【04】根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算的規(guī)定，我們只要研究 a? 是 a2 與怎樣的代數(shù)式的積。我們知道，a2a3＝a?，∴ a?÷a2＝a3? 。在這個(gè)式子里，可以看到商仍舊是以 a 為底的冪，它的指數(shù) 3，就是被除式的指數(shù) 5 與除式的指數(shù) 2 的差，即 a?÷a2＝a3＝a??2? 。

【05】同樣地，我們可以求出 a?÷a3＝a??3 (a≠0)，a?÷a?＝a????(a≠0)? 。

【06】一般地說(shuō)，∵ a?·a???＝a? (m＞n)，∴ a?÷a?＝a????(a≠0)? ?！?1)

【07】現(xiàn)在，我們?cè)賮?lái)計(jì)算?a?÷a? (a≠0)，很明顯，所得的商是 1? 。

【08】一般地說(shuō)，∵?a?·1＝a?，∴?a?÷a?＝1?(a≠0)? ?！?2)

【09】從上面的(1)和(2)，我們得到同底數(shù)的冪的除法法則：

????????(ⅰ)同底數(shù)的兩個(gè)冪相除，如果被除式的指數(shù)大于除式的指數(shù)，那末底數(shù)不變，指數(shù)相減。即?a?÷a?＝a??? (m＞n)，m,n 都是自然數(shù)，a≠0? 。

????????(ⅱ)同底數(shù)的兩個(gè)冪相除，如果被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)相等，那末商等于 1? 。即?a?÷a?＝1，m 是任意自然數(shù)，a≠0? 。

【附注】同底數(shù)的兩個(gè)冪相除，如果被除式的指數(shù)小于除式的指數(shù)，這情況要在下面第五章里再講。

例1.計(jì)算（這里所有字母都不等于 0；m,n是自然數(shù)）：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bmatrix%7D(1)%26x%5E4%5Cdiv%20x%5E2%3B%26(2)%26x%5E8%5Cdiv%20x%5E3%3B%26(3)%26x%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E5%3B%5C%5C(4)%26x%5E6%5Cdiv%20x%5E5%3B%26(5)%26x%5E6%5Cdiv%20x%5E6%3B%26(6)%26a%5E%7Bm%2Bn%7D%5Cdiv%20a%5Em%3B%5C%5C(7)%26a%5E%7B2m%7D%5Cdiv%20a%5Em%3B%26(8)%26a%5E%7B3m%2B2n%7D%5Cdiv%20a%5E%7Bm%2Bn%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)x%5E4%5Cdiv%20x%5E2%3Dx%5E%7B4-2%7D%3Dx%5E2%3B%5C%5C%0A%26%26(2)x%5E8%5Cdiv%20x%5E2%3Dx%5E%7B8-2%7D%3Dx%5E6%3B%5C%5C%0A%26%26(3)x%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E5%3Dx%5E%7B15-5%7D%3Dx%5E%7B10%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(4)x%5E6%5Cdiv%20x%5E5%3Dx%5E%7B6-5%7D%3Dx%5E1%3Dx%3B%5C%5C%0A%26%26(5)x%5E6%5Cdiv%20x%5E6%3D1%3B%5C%5C%0A%26%26(6)a%5E%7Bm%2Bn%7D%5Cdiv%20a%5Em%3Da%5E%7Bm%2Bn-m%7D%3Da%5En%3B%5C%5C%0A%26%26(7)a%5E%7B2m%7D%5Cdiv%20a%5Em%3Da%5E%7B2m-m%7D%3Da%5Em%3B%5C%5C%0A%26%26(8)a%5E%7B3m%2B2n%7D%5Cdiv%20a%5E%7Bm%2Bn%7D%3Da%5E%7B(3m%2B2n)-(m%2Bn)%7D%3Da%5E%7B2m%2Bn%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【注意】同底數(shù)的冪相除時(shí)，指數(shù)相減，不是指數(shù)相除，∴ x?÷x2＝x??2＝x2，不是x?÷x2＝x?÷2＝x2；同樣，x?÷x2＝x??2＝x?，不是 x?÷x2＝x?÷2＝x?；x1?÷x?＝x1??? 不等于?x1?÷?? 。

例2.計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Barray%7D%7Bllll%7D(1)%26(x%5E3)%5E2%5Cdiv%20x%5E2%3B%26(2)%26(x%5E5)%5E3%5Cdiv(x%5E2)%5E3%3B%5C%5C(3)%26(x%5E5)%5E3%5Cdiv(x%5E3)%5E5%3B%26(4)%26(x%5E4%5Cdiv%20x)%5E3.%5Cend%7Barray%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5C%3B(x%5E%7B3%7D)%5E%7B2%7D%5Cdiv%20x%5E%7B2%7D%3Dx%5E%7B6%7D%5Cdiv%20x%5E%7B2%7D%3Dx%5E%7B6-2%7D%3Dx%5E%7B4%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26(2)%5C%3B(x%5E%7B5%7D)%5E%7B3%7D%5Cdiv(x%5E%7B2%7D)%5E%7B3%7D%3Dx%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E%7B6%7D%3Dx%5E%7B15-6%7D%3Dx%5E%7B9%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26(3)%5C%3B(x%5E5)%5E3%5Cdiv(x%5E3)%5E5%3Dx%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E%7B15%7D%3D1%3B%20%20%5C%5C%0A%26(4)%5C%3B(x%5E%7B4%7D%5Cdiv%20x)%5E%7B3%7D%3D(x%5E%7B4-1%7D)%5E%7B3%7D%3D(x%5E%7B3%7D)%5E%7B3%7D%3Dx%5E%7B9%7D%E3%80%82%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

例3.計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%26%26(1)%5C%3B(x%5E3%60x%5E5)%5Cdiv%20x%5E2%3B%26%26(2)%5C%3B%5B(x%5E3)%5E2%60x%5E5%5D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D%3B%5C%5C%26%26(3)%5C%3B(x%5E2%60x%5E3)%5E3%5Cdiv(x%5E2)%5E4%3B%26%26(4)%5C%3B%5B(a%5E2)%5E3%60(x%5E3)%5E4%5D%5Cdiv(a%5E5)%5Ea.%5Cend%7Beqnarray%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D(1)%5C%3B(x%5E3%C2%B7x%5E5)%5Cdiv%20x%5E2%3Dx%5E8%5Cdiv%20x%5E2%3Dx%5E9%3B%5C%5C(2)%5C%3B%5B%5Cleft(x%5E3%5Cright)%5E2%C2%B7x%5E5%5D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D%3D%5Cleft%5Bx%5E6%C2%B7x%5E5%5Cright%5D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D%3Dx%5E%7B11%7D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D%3Dx%3B%5C%5C(3)%5C%3B(x%5E2%C2%B7x%5E3)%5E3%5Cdiv%5Cleft(x%5E2%5Cright)%5E4%3D%5Cleft(x%5E5%5Cright)%5E3%5Cdiv%20x%5E8%3Dx%5E%7B15%7D%5Cdiv%20x%5E8%3Dx%5E7%3B%5C%5C(4)%5C%3B%5B(a%5E2)%5E3%C2%B7(a%5E3)%5E4%5D%5Cdiv(a%5E5)%5E2%3D%5Ba%5E6%C2%B7a%5E%7B12%7D%5D%5Cdiv%20a%5E%7B10%7D%3Da%5E%7B18%7D%5Cdiv%20a%5E%7B10%7D%3Da%5E8.%5Cend%7Barray%7D$

習(xí)題3-8(1)

計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81a%5E%7B8%7D%5Cdiv%20a%5E%7B3%7D.%20%5C%5C%26%26%0A2%E3%80%81b%5E%7B12%7D%5Cdiv%20b%5E%7B11%7D.%20%5C%5C%26%26%0A3%E3%80%81a%5E%7B20%7D%5Cdiv%20a%5E%7B5%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A4%E3%80%81x%5E%7B100%7D%5Cdiv%20x%5E%7B10%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A5%E3%80%81x%5E%7Bm%2B1%7D%5Cdiv%20x%5E%7Bn%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A6%E3%80%81x%5E%7B2m%2Bn%7D%5Cdiv%20x%5Em.%20%5C%5C%0A%26%26%0A7%E3%80%81%20(a%5E%7B3%7D)%5E%7B2%7D%5Cdiv%20a%5E%7B7%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A8%E3%80%81(a%5E%7B3%7D)%5E%7B5%7D%5Cdiv%20a%5E%7B5%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A9%E3%80%81%20b%5E%7B13%7D%5Cdiv(b%5E%7B3%7D)%5E%7B5%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A10%E3%80%81(x%5E%7B3%7D)%5E%7B4%7D%5Cdiv(x%5E%7B2%7D)%5E%7B5%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%0A11%E3%80%81(a%5E%7B3%7D%5Ccdot%20a%5E%7B5%7D)%5Cdiv%20a%5E%7B2%7D.%5C%5C%0A%26%26%0A12%E3%80%81.a%5E%7B16%7D%5Cdiv(a%5E%7B3%7D%5Ccdot%20a%5E%7B5%7D).%5C%5C%0A%26%26%0A13%E3%80%81a%5E%7B12%7D%5Cdiv%20a%5E3%5Cdiv%20a%5E9.%5C%5C%0A%26%26%0A14%E3%80%81(x%5Em)%5E2%5Cdiv%20x%5Em.%5C%5C%0A%26%26%0A15%E3%80%81x%5Em%C2%B7x%5E%7B2n%7D%5Cdiv%20x%5En.%5C%5C%0A%26%26%0A16%E3%80%81(x%5Em%C2%B7%20x%5E%7B2n%7D)%5E8%5Cdiv%20x%5E%7Bm%2Bn%7D.%5C%5C%0A%26%26%0A17%E3%80%81(a%5E3%C2%B7%20a%5E5%C2%B7%20a%5E4%5Cdiv%20a%5E7)%5E3.%5C%5C%0A%26%26%0A18%E3%80%81%5B(a%5E3)%5E2%5D%5E3%5Cdiv%20a%5E5.%5C%5C%0A%26%26%0A19%E3%80%81a%5E%7B24%7D%5Cdiv%5B(a%5E2)%5E3%5D%5E4.%5C%5C%0A%26%26%0A20%E3%80%81(x%5E5%C2%B7%20x%5E3%C2%B7%20x%5Em)%5E2%5Cdiv%20x%5E6.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%261.%5Cquad%20a%5E%7B5%7D%3B%5Cquad2.%5Cquad%20b%3B%5Cquad3.%5Cquad%20a%5E%7B15%7D%3B%5Cquad4.%5Cquad%20x%5E%7B90%7D%3B%5Cquad5.%5Cquad%20x%3B%5C%5C%266.%5Cquad%20x%5E%7Bm%2Bn%7D%3B%5Cquad7.%5Cquad%20a%5E%7B9%7D%3B%5Cquad8.%5Cquad%20a%5E%7B10%7D%3B%5Cquad9.%5Cquad%20b%3B%5Cquad10.%5Cquad%20x%5E%7B2%7D%3B%5C%5C%2611.%5Cquad%20a%5E%7B6%7D%3B%5Cquad12.%5Cquad%20a%5E%7B8%7D%3B%5Cquad13.%5Cquad1%3B%5Cquad14.%5Cquad%20x%5E%7Bm%7D%3B%5Cquad15.%5Cquad%20x%5E%7Bm%2Bn%7D%3B%5C%5C%2616.%5Cquad%20x%5E%7B2m%2B5n%7D%3B%5Cquad17.%5Cquad%20a%5E%7B15%7D%3B%5Cquad18.%5Cquad%20a%5E%7B15%7D%3B19.%5Cquad1%3B%5Cquad20.%5Cquad%20x%5E%7B2m%2B10%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

2、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

【10】我們來(lái)計(jì)算：36a3b?c2÷12a3b3? 。

【11】這是一個(gè)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的問(wèn)題。我們?nèi)耘f可以利用除法是乘法的逆運(yùn)算這一關(guān)系來(lái)推出計(jì)算的法則?！?12a3b3×3b2c2＝36a3b?c2，∴ 36a3b?c2÷12a3b3＝3b2c2? 。

【12】很明顯，3 就是 36÷12；b2 就是 b?÷b3；而 a3÷a3＝1，在商里就沒(méi)有字母 a 了；在被除式里有 c2，而除式里沒(méi)有字母 c，所以商里還是 c2? 。

【13】一般地說(shuō)，我們有單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式，系數(shù)和相同字母的冪分別相除，只在被除式里有的字母的冪，保留在商里。

【附注】在單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除時(shí)，如果某些字母在被除式里的指數(shù)小于在除式里的指數(shù)，或者在除式里出現(xiàn)某些在被除式里所沒(méi)有的字母，這些情況要在以后講到分式時(shí)再講。

例4.計(jì)算：(－136a?b3c2d)÷(－4a3b2c2)? 。

【解】(－136a?b3c2d)÷(－4a3b2c2)＝＋34a2bd? 。

【說(shuō)明】(－136)÷(－4)＝34，就是商的系數(shù)，a?÷a3＝a2，b3÷b2＝b，c2÷c2＝1，d 保留不動(dòng)，所以商是 34a2bd。

例5.計(jì)算： $%5Cscriptsize%5Cleft(-1%5Cfrac23x%5E5y%5E7z%5E3%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%2B3%5Cfrac13x%5E3yz%5E3%5Cright)$ ? 。

【解】 $%5Cscriptsize%5Cleft(-1%5Cfrac23x%5E5y%5E7z%5E3%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%2B3%5Cfrac13x%5E3yz%5E3%5Cright)%3D-%5Cfrac12x%5E2y%5E6$ ?。

例6.計(jì)算：(－324a2???b3?c??3)÷(－12a?b2?c2)? 。

【解】(－324a2???b3?c??3)÷(－12a?b2?c2)＝27a?2??????b3??2?c???3??2＝27a???b?c??1? 。

【注】在計(jì)算熟練以后，中間步驟可以不寫(xiě)出來(lái)。

習(xí)題3-8(2)

計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%816a%5E2%5Cdiv(-2a).%5C%5C%26%26%0A2%E3%80%81-12a%5E2b%5E3%5Cdiv(-3ab%5E3).%5C%5C%26%26%0A3%E3%80%81(24a%5E3b%5E4c)%5Cdiv(6a%5E2bc).%5C%5C%26%26%0A4%E3%80%81(140x%5E3y%5E5)%5Cdiv%5Cleft(%5Cfrac12x%5E3y%5E5%5Cright).%5C%5C%26%26%0A5%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac23a%5E3x%5E2%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%5Cfrac12a%5E2x%5Cright).%5C%5C%26%26%0A6%E3%80%81(32a%5E3b%5E5x%5E3y)%5Cdiv(-8a%5E2bx%5E3).%5C%5C%26%26%0A7%E3%80%8136a%5E2b%5E3%5Cdiv12ab.%5C%5C%0A%26%26%0A8%E3%80%8136a%5E2b%5E3%5Cdiv12a.%5C%5C%0A%26%26%0A9%E3%80%810.4a%5E3x%5E5y%5E%7B100%7D%5Cdiv0.2ax%5E4y.%5C%5C%0A%26%26%0A10%E3%80%8136a%5E%7B2m%7D%5Cdiv(-6a%5Em).%5C%5C%0A%26%26%0A11%E3%80%81(6a%5E3)%5E2%5Cdiv(4a).%5C%5C%0A%26%26%0A12%E3%80%81(3a%5E2b%5E3c)%5E3%5Cdiv(-a%5E3b%5E5).%5C%5C%0A%26%26%0A13%E3%80%81(-12a%5E3b%5E4)%5E2%5Cdiv(2ab)%5E3.%5C%5C%0A%26%26%0A14%E3%80%81(3a%5E2)%5E3%5Ccdot(4b%5E3)%5E2%5Cdiv(6ab)%5E3.%5C%5C%0A%26%26%0A15%E3%80%81(3a%5Em)%5E2%5Cdiv%20a%5E%7B2m%7D.%5C%5C%0A%26%26%0A16%E3%80%81(4a%5E%7Bm%2B1%7D)%5E3%5Cdiv8u%5E%7B2m%2B1%7D.%5C%5C%0A%26%26%0A17%E3%80%81a%5E%7Bm%2Bn%7D%C2%B7(3a%5Emb%5En)%5Cdiv(-a%5E%7B2m%7D).%5C%5C%0A%26%26%0A18%E3%80%81x%5E%7Bm%2B3%7D%60(2x%5E2)%5E3%5Cdiv4x%5Em.%5C%5C%0A%26%26%0A19%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac23a%5E2b%5E3%5Cright)%5E3%5Cdiv%5Cleft(%5Cfrac12ab%5E2%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%26%26%0A20%E3%80%81(0.4a%5E3b%5Em)%5E2%5Cdiv(2a%5E2b%5Em)%5E2.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%2610.%5Cquad-6a%5Em%3B%5Cquad11.%5Cquad9a%5E5%3B%5Cquad12.%5Cquad-27a%5E9b%5E3c%5E3%3B%5Cquad13.%5Cquad18a%5E3b%5E5%3B%5C%5C%2614.%5Cquad12a%5E4b%5E4%3B%5Cquad15.%5Cquad9%3B%5Cquad16.%5Cquad8a%5E%7Bm%2B2%7D%3B%5Cquad17.%5Cquad-3a%5Enb%5En%3B%5Cquad18.%5Cquad2x%5E9%3B%5C%5C%2619.%5Cquad%5Cfrac%7B32%7D%7B27%7Da%5E4b%5E5%3B%5Cquad20.%5Cquad0.04a%5E2.%5Cend%7Baligned%7D$

3、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

【14】讓我們計(jì)算：(3a3－6a2－9a)÷3a? 。

【15】這里被除式是一個(gè)多項(xiàng)式，除式是一個(gè)單項(xiàng)式。

【16】根據(jù)除法運(yùn)算性質(zhì) (a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m，我們有 (3a3－6a2－9a)÷3a＝3a3÷3a＋(－6a2)÷3a＋(－9a)÷3a＝a2－2a－3? 。

【17】一般地說(shuō)，我們有多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，只要把被除式的各項(xiàng)分別除以除式，把所得的各商寫(xiě)成代數(shù)和。

例7.計(jì)算：(1) (3a2－6a＋18)÷(－3)；(2) (24x?y3－36x3y?)÷(－12xy2)? 。

【解】

(1) (3a2－6a＋18)÷(－3)＝－a2＋2a－6；

(2)?(24x?y3－36x3y?)÷(－12xy2)＝－2x3y＋3x2y3? 。

例8.計(jì)算：(0.12a3b?c－0.4a2b3c＋0.6ab3d)÷(0.2ab3)? 。

【解】(0.12a3b?c－0.4a2b3c＋0.6ab3d)÷(0.2ab3)＝0.6a2bc－2ac＋3d? 。

【注意】0.4÷0.2＝2，不是0.2? 。

例9.計(jì)算：(x3??2?＋x3???＋3x2?)÷(－x2?)? 。

【解】(x3??2?＋x3???＋3x2?)÷(－x2?)＝－x??2?＋x???－3? 。

【注意】3x2?÷(－x2?)＝－3，不是－3x? 。

習(xí)題3-8(3)

計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(12a%5E%7B4%7D-16a%5E%7B3%7D%2B24a%5E%7B2%7D)%5Cdiv(-4a%5E%7B2%7D).%20%5C%5C%0A%262%E3%80%81(36a%5E%7B4%7Dx%5E%7B5%7D-24a%5E%7B3%7Dx%5E%7B4%7D%2B48a%5E%7B2%7Dx%5E%7B3%7D)%5Cdiv(-6a%5E%7B2%7Dx%5E%7B3%7D).%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(-81x%5E5y%5E5%2B27x%5E4y%5E4-9x%5E3y%5E3)%5Cdiv(%2B9x%5E3y%5E3).%20%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(3a%5E%7B2%7Db-6a%5E%7B3%7Dc%2B12a%5E%7B4%7Dd)%5Cdiv(-3a).%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(0.6a%5E%7B3%7Db%5E%7B2%7Dc-0.8a%5E%7B2%7Db%5E%7B3%7Dc%5E%7B2%7D%2B0.4ab%5E%7B2%7Dc%5E%7B3%7D)%5Cdiv(-002abc).%20%5C%5C%0A%266%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%5E%7B4%7Dx%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Da%5E%7B3%7Dx%5E%7B3%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Da%5E%7B2%7Dx%5E%7B4%7D%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Da%5E%7B2%7D%5Cright).%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81(a%5E%7B2m%2B5%7D-3a%5E%7B2m%2B3%7D%2B9a%5E%7B2m%2B2%7D)%5Cdiv(3a%5E%7B2m%2B1%7D).%20%5C%5C%0A%268%E3%80%81(a%5E%7B2m%2B2%7Db%5E%7Bn%2B3%7D-3a%5E%7B2m%2B1%7Db%5E%7Bn%2B1%7D)%5Cdiv(-a%5E%7Bm%7Db).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%265.%5C%3B-30a%5E2b%2B40ab%5E2c-20bc%5E2%3B%5C%5C%266.%5C%3B-%5Cfrac34a%5E2x%5E2%2B%5Cfrac12ax%5E3%2B%5Cfrac98x%5E4%3B%5C%5C%267.%5C%3B%5Cfrac13a%5E4-a%5E2%2B3a%3B%5C%5C%268.%5C%3B-a%5E%7Bm%2B2%7Db%5E%7Bn%2B2%7D%2B3a%5E%7Bn%2B1%7Db%5En.%5Cend%7Baligned%7D$

4、多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式

【18】多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，一般可用直式演算，方法同算術(shù)里的多位數(shù)除法很相象，舉例說(shuō)明如下：

例10.計(jì)算：(x2＋5x＋6)÷(x＋3)? 。

【解】

【19】解法步驟說(shuō)明：

????????(1)先把被除式 x2＋5x＋6 及除式 x＋3 寫(xiě)好。

????????(2)將被除式 x2＋5x＋6 的第一項(xiàng) x2 除以除式 x＋3 的第一項(xiàng)x，得 x2÷x＝x，這就是商的第一項(xiàng)，寫(xiě)在被除式第一項(xiàng)?x2?的上面。

????????(3)以商的第一項(xiàng) x 與除式 x＋3 相乘，得 x(x＋3)＝x2＋3x，就是被除式應(yīng)該拆出的一個(gè)部分，寫(xiě)在 x2＋5x＋6 的下面。

????????(4)從 x2＋5x＋6 減去 x2＋3x，得差 2x＋6，寫(xiě)在下面，就是被除式去掉 x2＋3x 后的一部分。

????????(5)再讓 2x＋6 的第一項(xiàng) 2x 除以除式的第一項(xiàng) x，得 2x÷x＝＋2，這就是商的第二項(xiàng)，寫(xiě)在商的第一項(xiàng)的后面，寫(xiě)成代數(shù)和形式。

????????(6)以商的第二項(xiàng)＋2 與除式 x＋3 相乘，得 2x＋6，寫(xiě)在剛才的差 2x＋6的下面。

????????(7)相減得差零，就表示剛好能夠除盡.

????????(8)∴ (x2＋5x＋6)÷(x＋3)＝x＋2? 。

例11.計(jì)算：(2x3－x2＋3x－9)÷(2x－3)? 。

【解】

例12.計(jì)算：(－24x2＋7x3－21＋58x)÷(－3＋7x)? 。

【注意】在演算除法時(shí)，必須先將被除式和除式按照字母的降冪排列好，否則進(jìn)行將遭遇困難。

【解】按 x 的降冪將被除式整理為?7x3－24x2＋58x－21，除式整理為 7x－3，列式演算如下：

例13.計(jì)算：(x3－8x－3)÷(3－x)? 。

【解】被除式按心的降冪排列時(shí)，缺 x2 這一項(xiàng)，要空出適當(dāng)?shù)匚?，除式?x 的降冪排列，應(yīng)為。－x＋3；演算如下：

例14.計(jì)算：(1－5x＋5x2－4x3)÷(x2－x＋1)? 。

【解】

習(xí)題3-8(4)

計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(2x%5E%7B2%7D-3x%2B1)%5Cdiv(x-1).%20%5C%5C%0A%262%E3%80%81%20(6x%5E3%2B14x%5E2-4x%2B24)%5Cdiv(2x%2B6).%20%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(3x%5E%7B2%7D%2Bx%2B9x%5E%7B3%7D-1)%5Cdiv(3x-1).%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81%20(2x%5E3-5x%5E2%2B18)%5Cdiv(2x%2B3).%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(x%5E4%2B2x%5E2-x%2B2)%5Cdiv(1-x%2Bx%5E2).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(x%5E4%2B11x%5E2%2B6-5x%5E3-12x)%5Cdiv(3%2Bx%5E2-3x).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(18a%5E4%2B82a%5E2%2B40-67a-45a%5E3)%5Cdiv(3a%5E2%2B5-4a).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(12%2B82x%5E2%2B106x%5E4-70x%5E5-112x%5E3-38x)%5Cdiv(3-5x%2B7x%5E2).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%265.%5C%3B%20x%5E2%2Bx%2B2%3B%5C%5C%266.%5C%3B%20x%5E2-2x%2B2%3B%5C%5C%267.%5C%3B6a%5E2-7a%2B8%3B%5C%5C%268.%5C%3B-10x%5E3%2B8x%5E2-6x%2B4.%5Cend%7Baligned%7D$

5、多元多項(xiàng)式除法

例15.計(jì)算：(6x3－x2y－14xy2＋3y3)÷(2x－3y)? 。

【解】這里有兩個(gè)字母 x 與 y，按 x 的降冪排列，而后演算，如下：

例16.計(jì)算：(4a?x2－4a2x?＋x?－a?)÷(x2－a2)? 。

【解】

【說(shuō)明】被除式里 x 的冪只有偶數(shù)次的，因?yàn)槌嚼?x 的冪也只有偶數(shù)次的，所以缺項(xiàng)就不必留出空位。

例17.計(jì)算：(a?－b?)÷(a－b)? 。

【解】

例18.計(jì)算.(a2－b2－2bc－c2)÷(a－b－c)? 。

【解】按 a 的降冪排列，a 的冪相同時(shí)按 b 的降冪排列。

習(xí)題3-8(5)

計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(a%5E%7B2%7D-4ab%2B3b%5E%7B2%7D)%5Cdiv(a-3b).%20%5C%5C%0A%262%E3%80%81(4x%5E%7B2%7D-5xy%2By%5E%7B2%7D)%5Cdiv(4x-y).%20%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(a%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D)%5Cdiv(a%2Bb).%20%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(a%5E%7B3%7D%2Bb%5E%7B3%7D)%5Cdiv(a%2Bb).%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(8x%5E%7B3%7D-27y%5E%7B3%7D)%5Cdiv(2x-3y).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(a%5E4%2B2a%5E2b%5E2%2B9b%5E4)%5Cdiv(a%5E2-2ab%2B3b%5E2).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(a%5E5%2B32b%5E5)%5Cdiv(a%2B2b).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(4a%5E2b%5E2-3a%5E3b%2B3ab%5E3%2Ba%5E4-5b%5E4)%5Cdiv(b%5E2-a%5E2).%5C%5C%0A%269%E3%80%81(2ab%2Bb%5E2%2Ba%5E2%2B2ac%2B2bc%2Bc%5E2)%5Cdiv(b%2Ba%2Bc).%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(a%5E2-2ab%2Bb%5E2-c%5E2)%5Cdiv(a-b%2Bc).%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%266.%5C%3Ba%5E2%2B2ab%2B3b%5E2%3B%5C%5C%0A%267.%5C%3Ba%5E4-2a%5E3b%2B4a%5E2b%5E2-8ab%5E3%2B16b%5E4%3B%5C%5C%0A%268.%5C%3B-a%5E2%2B3ab-5b%5E2%3B%5C%5C%0A%269.%5C%3B%20a%2Bb%2Bc%3B%5C%5C%0A%2610.%5C%3B%20a-b-c.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

標(biāo)簽：

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【種花家務(wù)·代數(shù)】1-3-08整式的除法『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』

習(xí)題3-8(1)

習(xí)題3-8(2)

習(xí)題3-8(3)

習(xí)題3-8(4)

習(xí)題3-8(5)