眾所周知，這是一個普通的三角形。

又眾所周知，高線，中線，角平分線與三角形有關(guān)的三條線段。 再加上勾股定理和余弦定理，我們便可以用三角形的三邊長度表示出三角形的高，中線，角平分線的長度。理論存在，實踐開始。 （一）三角形的高

如圖所示，△ABC的三邊長分別為a，b，c，設(shè)AB邊上的高AD的長為h，BD的長為c/2+t，AD長為c/2-t。 在Rt△BCD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理， (c/2+t)2=a2-h2 ① (c/2-t)2=b2-h2 0 ①-②，得， (c/2+t+c/2-t)(c/2+t-c/2+t)=a2-b2 所以2ct=a2-b2 所以t=(a2-b2)/2c 所以c/2+t=c/2+(a2-b2)/2c =(a2-b2+c2)/2c 所以h2=a2-(c/2+t)2 =a2-[(a2-b2+c2)/2c]2 =a2-[(a?+b?+c?-2a2b2-2b2c2+2c2a2)/2c]2 =4a2c2/4c2-[(a?+b?+c?-2a2b2-2b2c2+2c2a2)/2c]2 =(-a?-b?-c?+2a2b2+2b2c2+2c2a2)/4c2 所以h= √[(-a?-b?-c?+2a2b2+2b2c2+2c2a2)/4c2] =√(-a?-b?-c?+2a2b2+2b2c2+2c2a2)/2c 這樣，我們就用三角形的三邊長表示出了三角形的高的長度。 但是這樣要計算三邊長的四次方，計算起來比較麻煩，于是我又對根號里的式子進(jìn)行了化簡： -a?-b?-c?+2a2b2+2b2c2+2c2a2 =(2a2b2-a?)+(2b2c2-b?)+(2c2a2-c?) =a2(2b2-a2)+b2(2c2-b2)+c2(2a2-c2) 所以h =√[a2(2b2-a2)+b2(2c2-b2)+c2(2a2-c2)]/2c （二）三角形的中線

如圖所示，CD是△ABC的中線，設(shè)CD=x，∠BDC=α，∠ADC=180°-α。 在△BDC和△ADC中，根據(jù)余弦定理， a2=x2+(c/2)2-2cosαxc/2 =x2+c2/4-cosαcx ③ b2=x2+(c/2)2-2cos(180°-α)xc/2 =x2+c2/4+cosαcx ④ ③+④，得 a2+b2=2x2+c2/2 所以4x2=2a2+2b2-c2 所以2x=√(2a2+2b2-c2) 所以x=√(2a2+2b2-c2)/2 (三)三角形的角平分線

如圖所示，CD是△ABC的角平分線，設(shè)CD為x，BD為m，AD為n，∠BCD=∠ACD=α，∠BCA=2α。 根據(jù)角平分線的性質(zhì)，易知 m∶n=S△BCD∶△ACD=a∶b 又因為m+n=c 所以m=ac/(a+b)，n=bc/(a+b) 所以m-n=(a-b)c/(a+b) 所以m2-n2＝(m+n)(m-n) ＝c·(a-b)c/(a+b) ＝(a-b)c2/(a+b) 在△ABC中，根據(jù)余弦定理， cos2α＝(a2+b2-c2)/2ab 又因為cos2α＝2cos2α-1 所以2cos2α＝(a2+2ab+b2-c2)/2ab ＝[(a+b)2-c2]/2ab ＝(a+b+c)(a+b-c)/2ab 所以cosα＝√[(a+b+c)(a+b-c)/4ab] 為了便于表示，我們設(shè)(a+b+c)(a+b-c)=A 則cosα＝√(A/4ab) 在△BCD和△ACD中，根據(jù)余弦定理， m2=a2+x2-2cosαax ⑤ n2＝b2+x2-2cosαbx ⑥ ⑤-⑥，得， m2-n2＝a2-b2-2cosα(a-b)x 所以(a-b)c2/(a+b) ＝(a+b)(a-b)-(a-b)2cosαx 兩邊同時除以(a-b)，得 c2/(a+b)＝a+b-2cosαx 2cosαx＝(a+b)2/(a+b)-c2/(a+b) ＝[(a+b)2-c2]/(a+b) ＝(a+b+c)(a+b-c)/(a+b) =A/(a+b) 所以x＝A/(a+b)÷2cosα ＝A/(a+b)÷2√(A/4ab) ＝A/(a+b)÷√(A/ab) ＝A÷√A×√(ab)÷(a+b) ＝√(Aab)/(a+b) ＝√[ab(a+b+c)(a+b-c)]/(a+b) 這樣，我們就得出了三角形的高，中線，角平分線的長度：

高： √[a2(2b2-a2)+b2(2c2-b2)+c2(2a2-c2)]/2c 中線：√(2a2+2b2-c2)/2 角平分線：√[ab(a+b+c)(a+b-c)]/(a+b) 此外，知道了三角形的高，我們就可以根據(jù)三角形的面積公式S＝1/2ah，得出三角形的面積 S＝1/2ah ＝1/2×c×√[a2(2b2-a2)+b2(2c2-b2)+c2(2a2-c2)]/2c ＝√[a2(2b2-a2)+b2(2c2-b2)+c2(2a2-c2)]/4 將這個公式變形一下，就得到了秦九韶公式 S＝√{1/4{a2b2-[(a2+b2-c2)/2]2}} 也許秦九韶就是用這種方法得出的秦九韶公式吧。 -----------------分割線------------------ 推算這些東西的靈感其實是來自這三道題

這三道題都提到了一個特殊的三角形，即三邊分別為13，14和15的三角形，這個三角形在長為14的邊上的高為12。于是我就想到將這個性質(zhì)一般化，也就是已知三角形的三邊，求三角形的高，然后我又求出了三角形的中線和角平分線的長度，并算出了三角形的面積。這個過程正是從特殊到一般，再推廣的過程，也許許多的科學(xué)家都是用這樣的方式，得出了許多著名的成就。 最后，這篇文章中可能會有錯誤的地方，歡迎大家指正。真理越辯越明。