數(shù)學(xué)非具體問題QA系列第二期

Q：為什么會(huì)有“陪集”這個(gè)概念？

A ：設(shè)群為G，子群為H，我們不妨僅討論“左陪集”的概念，“右陪集”同理可得。

一般書上直接就引入了“左陪集”的定義：H關(guān)于a的左陪集是集合aH：={ah|a∈G，h∈H} 。這樣引入似乎很自然，不就是選取G中一元素，然后左乘以H中每個(gè)元素，生成一個(gè)集合并取名嗎？好像是人都會(huì)這么操作，但你可能越往后越會(huì)產(chǎn)生割裂感，就像我當(dāng)初一樣，擁有這么多良好性質(zhì)的概念就這么直接誕生了？？？天上掉餡餅了？

不，不是的，這和上期《數(shù)學(xué)非具體問題QA》中講的數(shù)學(xué)分析教材的編寫順序類似，是一種倒敘手法，從邏輯順序上講，我們從來不是先定義一個(gè)概念，然后去研究它的性質(zhì)，你怎么知道你定義的東西有好的性質(zhì)呢？就像集合{1，3，4，84556}，這玩意你有必要上來取個(gè)名字嗎？不難發(fā)現(xiàn)，新的概念的出現(xiàn)一直都是在荒野中思考、摸索時(shí)，逐漸發(fā)現(xiàn)了一個(gè)未知名的東西，它擁有了一些有趣的性質(zhì)，然后嫌沒名討論太麻煩，那就取個(gè)名再繼續(xù)研究吧。

現(xiàn)在讓我們回到剛知道G和H定義的時(shí)候，不妨思考有限集合G，元素個(gè)數(shù)|G|=n。

我在余篇貫穿研究一個(gè)例子（你怎么具體了呢？好吧，問題不是很具體呢）。

例：我們有一個(gè)mod6剩余類{0，1，2，3，4，5}，它在加法運(yùn)算上構(gòu)成群，記為G（更準(zhǔn)確的說，G是個(gè)阿貝爾群，不過無關(guān)緊要，我們在后面研究過程中禁止使用交換律就行），它有個(gè)子群{0，3}，記為H。

我們嘗試將G中所有元素，分別左乘以H中所有元素，得到n個(gè)集合。

例:{0，3}? （選取0∈G）記M0；

{1，4}（選取1∈G）記M1；

{2，5}（選取2∈G）記M2；

{3，0}（選取3∈G）記M3；

{4，1}（選取4∈G）記M4；

{5，2}（選取5∈G） 記M5。

性質(zhì)1：M0∪M1∪M2∪M3∪M4∪M5=G?(顯然啊，因?yàn)镠有單位元，將G中所有元素分別左乘以時(shí)，選a就會(huì)在集合Ma中生成a，那么所有集合的并集當(dāng)然擁有所有元素。)

性質(zhì)1可以說在這個(gè)時(shí)候無關(guān)緊要，所以你不發(fā)現(xiàn)也無所謂，它更可能是你在后面研究時(shí)，想要利用的一個(gè)性質(zhì)。

我們觀察到有些集合是相等的，不存在相交不相等的情況，也就是說兩個(gè)集合要么相等，要么不相交。這個(gè)觀察到的是否具有一般性呢？

例：M0=M3；M1=M4；M2=M5

猜想：我們嘗試將G中所有元素，分別左乘以H中所有元素，得到n個(gè)集合，這n個(gè)集合中任意2個(gè)集合要么相等，要么不相交。不可能不相等但卻相交的情況，就是奧林匹克五環(huán)中相鄰的兩個(gè)環(huán)一樣。

即證相交，則相等。

證明1：假設(shè)兩個(gè)生成集合Mp，Mq。Mp∩Mq={k}

→k=p（h1）=q（h2）→p=k（h1-）=q（h2）（h1-）

（h1）（h2）中1，2為下標(biāo)，均∈H，表明不一定相等，例：M0∩M5={2}，2=0+2=5+3（mod6）

（h1-）為（h1）的逆元

任取Mp中一元素a，a=p（h3）=q（h2）（h1-）（h3）

因?yàn)镠有封閉性，（h2）（h1-）（h3）∈H，設(shè)h4=（h2）（h1-）（h3）

→a=q（h4）

→a為Mq中元素

同理，任取Mq中的元素一定∈Mp

故Mp=Mq? ? ? ? ??

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性質(zhì)2：這n個(gè)集合中任意2個(gè)要么相等，要么不相交。

自然而然，我們好奇什么時(shí)候相等呢？也就是什么時(shí)候有相交元素呢？

根據(jù)剛才的證明過程，p=k（h1-）=q（h2）（h1-）→（q-）p=（h2）（h1-）

設(shè)（h2）（h1-）=h∈H→（q-）p=h∈H

引理1：（q-）p=h∈H????Mp=Mq

到這里，我們摸索到了什么呢？

我們有n個(gè)集合，但也許有些集合是完全一樣的，（而且不需要求出結(jié)果Mp和Mq，我們可以直接研究p和q的關(guān)系），此時(shí)，性質(zhì)1等式左邊有些項(xiàng)任意選其中一個(gè)留下就行。

例：M0∪M1∪M2∪M3∪M4∪M5=G?可以變?yōu)?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03">M0∪M1∪M2=G

?將M1和M4任意選擇其中一個(gè)留下，這里“任意”二字非常關(guān)鍵，用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，是因?yàn)閮烧呤窍嗟鹊模咭灿蟹墙Y(jié)果上的區(qū)別，他們的生成方式不同。M1和M4，一個(gè)是1生成的，一個(gè)是4生成的，那1和4有什么關(guān)系呢？根據(jù)引理1→（4-）+1=2+1=3∈H。

利用p和q滿足（q-）p=h∈H這個(gè)關(guān)系，我們定義此時(shí)p等價(jià)于q。

定義：p~q?：??（q-）p=h∈H

由此→

定理1：?p~q??（q-）p=h∈H????Mp=Mq??

我們看到了什么？

在數(shù)學(xué)中，我們將一個(gè)集合切割成n個(gè)集合，如果這n個(gè)集合擁有性質(zhì)1和性質(zhì)2，那我們稱之為分劃。顯然，我們這時(shí)候得到了一個(gè)分劃，G被分劃為M0，M1，M2。

到這里，其實(shí)是個(gè)小終點(diǎn)了，為什么？因?yàn)槲覀兛吹搅朔謩?，這代表我們進(jìn)入了一個(gè)以前研究過的概念領(lǐng)域，我們可以用分劃領(lǐng)域的工具繼續(xù)研究下去，就像你研究一個(gè)數(shù)列，突然發(fā)現(xiàn)它的遞推關(guān)系可以用矩陣方程來表示，那不就可以引入特征方程、動(dòng)力系統(tǒng)等來繼續(xù)研究了嗎？

此時(shí)，我們可以繼續(xù)用那些之前就有的名詞，譬如等價(jià)，等價(jià)類，代表元等等，但也可能我們要突出一些區(qū)分，因?yàn)楝F(xiàn)在不是集合，而是群，我們不是隨便拿個(gè)元素去切割，（譬如對于自然數(shù)集合，我們可以拿任意一個(gè)自然數(shù)n去切割，得到modn），而是用子群是切割。

此時(shí)的等價(jià)類是怎么來的？是用子群H，通過定義的等價(jià)關(guān)系~，分劃G得到的。

這一個(gè)個(gè)特殊方式得到的等價(jià)類我們不妨取個(gè)名字吧，他們的產(chǎn)生方式，很容易產(chǎn)生寫aH的念頭，陪伴著H產(chǎn)生的一系列子集（注意不是子群，可通過判斷是否擁有單位元），也許可以叫做“陪集”？

而像modn剩余類一樣，我們也想給這些陪集的集合一個(gè)名字，也許可以叫做“商集”？記G/~或G/H？

其實(shí)名字不是關(guān)鍵，用以前的名字照樣可以研究，關(guān)鍵是什么？關(guān)鍵是研究的過程與順序，被動(dòng)接受一些概念太可怕了，希望大家不要帶著割裂感學(xué)習(xí)，我經(jīng)常說這句話，至于為什么，你大概率聽我說過了。

注意我們研究過程中產(chǎn)生的定理1，這是伴生品。