有這樣一道概率題——

題目中說(shuō)“甲乙各押24顆綠豆”，所以兩人共有綠豆：24×2=48（顆）.

乙聲稱他應(yīng)分走16顆，這16顆占總綠豆數(shù)的：16÷48=1/3.

這個(gè)1/3合理嗎？

按照乙的思路來(lái)推理——

如果游戲繼續(xù)，甲還差一次“6”獲勝，而乙還差兩次“3”才能獲勝.

乙相對(duì)于甲的難度是“二比一”，乙更難獲勝，所以甲獲勝的概率就應(yīng)該是乙的2倍.

因此在分配48顆綠豆時(shí)，乙應(yīng)分得——

48÷(2+1)=16（顆），

而甲分得——

48-16=32（顆）.

以上推理看似挺合理——

如果我是甲，面對(duì)這種時(shí)間緊迫的利益分配，特別是當(dāng)我聽(tīng)到乙說(shuō)“你分到的應(yīng)該是我的2倍”時(shí)，我會(huì)下意識(shí)地高興，被非理性的情緒左右并認(rèn)同他的推理，我甚至?xí)耄阂艺媸莻€(gè)愿賭服輸品性率直的家伙，下次還找他玩這個(gè)游戲.

不過(guò)還好甲并不是我，甲在回家路上心里想的是“乙相對(duì)于我的難度可能不止二比一”.

于是甲開始推想“倘若游戲繼續(xù)”之后的事——

當(dāng)時(shí)甲乙的比分是“2:1”，先積到3分者將贏得所有綠豆.

接著甲乙又開始輪流擲骰子，當(dāng)點(diǎn)數(shù)是“1”“2”“4”“5”時(shí)，除了點(diǎn)數(shù)記錄繼續(xù)更新，甲乙的比分仍保持“2:1”不變，所以我們完全可以把不影響勝負(fù)的點(diǎn)數(shù)“1”“2”“4”“5”剔除掉.

而剩下的“3點(diǎn)”“6點(diǎn)”，它們出現(xiàn)的先后順序?qū)τ螒騽儇?fù)而言就至關(guān)重要了.

雖然“3點(diǎn)”與“6點(diǎn)”出現(xiàn)的概率各是1/6，但由于其余4/6與游戲勝負(fù)無(wú)關(guān)，我們只需要考慮“3點(diǎn)”與“6點(diǎn)”出現(xiàn)的概率之比——1/6:1/6=1:1，所以我們認(rèn)為接下來(lái)“先出現(xiàn)3點(diǎn)”與“先出現(xiàn)6點(diǎn)”是概率相等、機(jī)會(huì)各半的.

因此甲乙完全可以用一個(gè)更好理解的道具——硬幣——來(lái)替代骰子.

假設(shè)他們都同意更改游戲規(guī)則：接下來(lái)改為拋硬幣，若硬幣正面朝上（相當(dāng)于骰子6點(diǎn)）甲得1分；若硬幣背面朝上（相當(dāng)于骰子3點(diǎn)）乙得1分.

從甲乙比分2:1算起，接下來(lái)可能的比分變化如下——

請(qǐng)注意上圖中綠色的“甲勝”“乙勝”，如果僅僅只看它們出現(xiàn)的次數(shù)——

乙肯定會(huì)說(shuō)：“瞧，現(xiàn)在我們是2:1，接下來(lái)我們的比分一共有三種可能——3:1、3:2、2:3，只有2:3能讓我獲勝，所以從比分2:1算起，我有1/3的機(jī)會(huì)獲勝，所以我要求分走48顆的1/3即16顆綠豆！”

不過(guò)這次甲不會(huì)被騙了，比起綠字出現(xiàn)的次數(shù)，他更關(guān)注圖中的黃色箭頭路徑，并且發(fā)現(xiàn)一件極其重要的事情——

乙獲勝是存在“路徑依賴”的，即，比分“2:3”的前提是比分能達(dá)到“2:2”——若比分一開始是“3:1”，乙就再無(wú)下一次拋硬幣的機(jī)會(huì)了.

所以從2:1算起，乙獲勝必須分兩步：第一步——第一枚硬幣背面朝上，第二步——第二枚硬幣背面朝上——兩個(gè)步驟缺一不可，這讓甲想到了“乘法原理”——沒(méi)錯(cuò)，概率上的兩個(gè)相互獨(dú)立的事件若同時(shí)發(fā)生，它們的概率也是應(yīng)該相乘的.

所以從2:1算起，乙獲勝的真實(shí)概率是：1/2×1/2=1/4.

為什么在一開始，乙聲稱他獲勝的概率是1/3時(shí)，甲會(huì)被他蒙騙呢？

1/3與1/4的根本區(qū)別在哪？

現(xiàn)在，甲終于看穿了乙的障眼法——區(qū)別在于可能性的錯(cuò)誤等分.

人們?cè)诿杜e可能性的時(shí)候，通常喜歡默認(rèn)每種可能的情況是等可能的——比如從比分2:1算起，甲3:1獲勝、甲3:2獲勝、乙2:3獲勝這三種可能我們會(huì)下意識(shí)認(rèn)為它們是概率相等的，于是運(yùn)用古典概型“所有可能情況數(shù)分之目標(biāo)事件可能情況數(shù)”就得出乙有1/3的概率獲勝.

但實(shí)際上，甲以比分3:1獲勝的概率是1/2，甲以比分3:2獲勝的概率是1/2×1/2=1/4，乙以比分2:3獲勝的概率是1/2×1/2=1/4，這三種情況并非等可能.

為什么不是等可能呢？

原因就在于后兩種比分“3:2”“2:3”出現(xiàn)的前提是比分必須來(lái)到“2:2”，而這個(gè)比分“2:2”并非100%出現(xiàn)，事實(shí)上，它只有一半的機(jī)會(huì)出現(xiàn).

回家的路上，手里拿著32顆綠豆的甲很生氣，他對(duì)自己輕信乙的分配建議感到羞恥，“乙接下來(lái)只有1/4的機(jī)會(huì)獲勝，我獲勝的概率明明是他的3倍，我應(yīng)該得到48顆綠豆的3/4也即是36顆！而他只能拿走12顆！”

甲心想，那個(gè)乙不是蠢就是壞，下次最好還是不要和他一起玩了.

以上內(nèi)容其實(shí)是對(duì)“條件概率”的一些探討，旨在幫助初學(xué)者厘清易混淆的概念，為達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果，⑨老師向您推薦一道課后思考題——

美國(guó)曾將有這樣一檔電視節(jié)目，參賽者面前有三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未打開之前，節(jié)目主持人打開剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。之后會(huì)問(wèn)參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門，如果你是參賽者，你換不換呢？