叮叮叮，學(xué)酥老碧又來跟大家叨叨這本有趣豐富內(nèi)容詳實的數(shù)學(xué)名著了。

還記得老碧在Ep1的后記跟大家八卦過，許多高中大一的小朋友，常常因為一些“大神”前輩的觀點而對這本書存在一些誤解——

他們會聽說這本書，簡單，基礎(chǔ)，好讀，于是，他們中間許多人可能高中，大一就把這本書刷了草草刷了一遍，解題能力卻依然沒有提高。甚至老碧認(rèn)識一些這本書刷完了，還會去問一些特別基礎(chǔ)簡單計算題的寶寶，真是哭笑不得。

然而事實上，這本書上涉及的內(nèi)容，習(xí)題的質(zhì)量都是很好的，國內(nèi)各大知名《數(shù)學(xué)分析》教材都或多或少受到這本書的影響，如果能把這本書細(xì)細(xì)地學(xué)好，那么《數(shù)學(xué)分析》能力應(yīng)該是會十分扎實的才對。

老碧說過，之所以會存在這種誤解，原因不外乎：

“

1. 這本書沒有大量引入邏輯符號語言，廣泛地使用自然語言；

2. 這本書沒有涉及太多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的部分，如流形，實變，泛函等等；

3. 例題簡單；

4. 說話者是數(shù)學(xué)專業(yè)的尖子生。

但是恰恰這四點是老碧認(rèn)為這本書讀起來很容易卡住的原因：

1. 自然語言容易因為斷句或者翻譯問題產(chǎn)生歧義，然后失之毫厘謬之千里；
   

2. 沒有涉及現(xiàn)代內(nèi)容，所以簡單？難道不是應(yīng)該導(dǎo)致：許多用稍微現(xiàn)代點的技巧輕松做出來的題目，用古典的方法感覺很崎嶇嗎？特別是，用符號一句話說明白的事，硬是硬生生寫了一段；

3. 例題并不都很簡單，有些讀完了這本書還來問我基礎(chǔ)題的人，我很奇怪你們是不是讀了假書，這本書題目收集真的很全面了，想要消化不算太簡單；

   （因為老碧只會基礎(chǔ)題。）

4. 數(shù)學(xué)系尖子生，看啥都簡單，和我們?nèi)嗣袢罕姏]啥關(guān)系。”

如果前面幾頁書我們讀得還很愉快，我們即將說的兩頁書，寶寶們應(yīng)該就會開始感受到老碧提到的前兩個問題了。

上一期我們試著用書上的一個精致的小命題證明了3.49999……=3.5000……，于是我們知道所有實數(shù)都可以統(tǒng)一成無窮小數(shù)的形式，我們之后會聊，書上是如何用“戴德金分割”的思想驗證“無限小數(shù)”表達(dá)實數(shù)的方法的。

（這個方法見于國內(nèi)各大《數(shù)學(xué)分析》教材，我們中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也用的是這種方式，不過我們一直未從邏輯上進(jìn)行闡釋）。

在此之前，我們先做幾點補(bǔ)充：

我們在“有理數(shù)分劃”中曾經(jīng)說過，實數(shù)的定義，其實就是實現(xiàn)了從“有理數(shù)分劃”到實數(shù)的“一一對應(yīng)”；為此，在任何一本教材中，都會人為規(guī)定，有理數(shù)對應(yīng)的“有理數(shù)分劃”，要么規(guī)定界數(shù)屬于上組，要么規(guī)定屬于下組，以實現(xiàn)，任何有理數(shù)對應(yīng)的“有理數(shù)分劃”是唯一確定的。

而每一個“有理數(shù)分劃”都對應(yīng)一個數(shù)，我們從“有理數(shù)分劃”的定義可以直接看出來。

同理，為了驗證“無限十進(jìn)小數(shù)”可以表達(dá)實數(shù)，我們依然要確定“十進(jìn)小數(shù)”與實數(shù)實現(xiàn)“一一對應(yīng)”。

于是，就不得不先提到，“一一對應(yīng)”的命題的證明——

在數(shù)學(xué)中是一種重要的題型，最樸素的思路便是，我們要驗證兩個集合X和Y之間的元素“一一對應(yīng)”，一般先驗證，X中任何一個元素對應(yīng)的Y中的元素是唯一的，再反過來，證明Y中任何一個元素對應(yīng)的X中的元素是唯一的就好了。

就好比說，老碧和雪碧是一個班的，于是老碧班里不止老碧一個人，于是老碧和班級之間不是“一一對應(yīng)”，老碧不開心，就把其他人都煩到轉(zhuǎn)班，退學(xué)了，就剩老碧一個人，老碧和班級之間就又是“一一對應(yīng)”了；

或者，老碧有兩只小鴨子，小鴨子的主人是唯一的，就是老碧，但是老碧有不止一只鴨子，那么老碧和鴨子之間也不是“一一對應(yīng)”，老碧就把小鴨子送一只給老碧媽媽了，這樣老碧和小鴨子之間也是“一一對應(yīng)”了。

這里你肯定不得不感慨，為了實現(xiàn)“一一對應(yīng)”，老碧還真是喪心病狂，然而我們說，數(shù)學(xué)研究者普遍比老碧還喪心病狂嗎？

畢竟“一一對應(yīng)”是那么好用的一個知識，尤其是在《代數(shù)學(xué)》中，當(dāng)你接觸到“同構(gòu)”的概念之后，你會發(fā)現(xiàn)許多艱難的問題可以用這個方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化。感興趣的寶寶請收看長篇勵志脫口秀節(jié)目——最最可愛的丘維聲爺爺?shù)摹陡叩却鷶?shù)》，非常好看，老碧絕對不騙你！

到這里，聰明的寶寶就會明白，我們要去驗證“無限小數(shù)”和實數(shù)之間有著“一一對應(yīng)”的關(guān)系，那么，我們就得，先去確定，每一個實數(shù)對應(yīng)唯一的“無限小數(shù)”，再去確定，每一個“無限小數(shù)”對應(yīng)唯一的實數(shù)，實數(shù)的定義自然是從“戴德金分割”里來了。

這也是這本教材的展開思路，欲知詳情如何，且待下回分解！

注：一個十進(jìn)小數(shù)，即我們小學(xué)中學(xué)學(xué)過的“逢十進(jìn)一”的小數(shù)，任意一個十進(jìn)小數(shù)，都可以表示成關(guān)于10^k的多項式的形式，比方說25.54=2*10^1+5*10^0+5*10^(-1)+4*10^(-2)。同理，所謂k進(jìn)制小數(shù)，都可以類似表示，詳細(xì)的轉(zhuǎn)化方法，我們之后聊到下一本數(shù)學(xué)名著時詳談，二進(jìn)制表示在數(shù)學(xué)某些學(xué)科的證明題中非常好用，值得細(xì)細(xì)聊聊的。