我們來解一個(gè)簡(jiǎn)單的方程：

x3-1=0?

你也許會(huì)脫口而出：x=1，不錯(cuò)！

回顧第一部分，我們介紹了代數(shù)基本定理：任意一個(gè)多項(xiàng)式方程一定具有與其最高次數(shù)一樣多的根。我們的方程的最高次數(shù)為3，所以此方程有3個(gè)根。

要找到剩下的兩個(gè)根，你可以通過因式分解找到剩下兩個(gè)根：

但今天，我們?cè)囍脧?fù)平面來重新認(rèn)識(shí)這個(gè)問題：

“什么復(fù)數(shù)自己相乘三次等于1？“

讓我們用極坐標(biāo)形式將這個(gè)問題具體化?？紤]復(fù)數(shù)1：它的模長(zhǎng)為1，輻角為360°的整數(shù)倍。寫成極坐標(biāo)形式便是：

1∠n*360° n∈Ζ

根據(jù)復(fù)數(shù)相乘，模長(zhǎng)相乘的性質(zhì)。易知根的模長(zhǎng)只能是1，因?yàn)橹挥?的立方是1。

接著我們求輻角，設(shè)要求的根的輻角為α。根據(jù)復(fù)數(shù)相乘，輻角相加的性質(zhì)，我們有：

3*α=n*360° n∈Ζ

我們不妨選擇n=1，于是α=120°。求出了模長(zhǎng)和輻角，我們就得到了第二個(gè)根，1∠120°。在復(fù)平面中位于以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓（單位圓）的其中一個(gè)三等分點(diǎn)上。

我們把它轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)形式。根據(jù)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的定義，1∠120°的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)于正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在角度為α的值。所以：

1∠120°=cos120°+i(sin120°)=-1/2+(√3/2)i

我們來驗(yàn)證一下：

很酷，對(duì)吧？這便是數(shù)形結(jié)合的范例?，F(xiàn)在還剩1個(gè)根沒找出來。如果你留意剛才的過程，相信你已經(jīng)猜到另一個(gè)根位于圓的另一個(gè)三等分點(diǎn)上，即1∠-120°（或1∠240°）：

讓我們來驗(yàn)證一下：

[1∠-120°]3=(13)∠3*(-120°)=1∠-360°=1∠0°

（或者[1∠240°]3=(13)∠3*(240°)=1∠720°=1∠0°）

仿照上述做法，寫成直角坐標(biāo)形式便是1/2-(√3/2)i。于是，我們找到了這個(gè)方程的所有根：

1；-1/2+(√3/2)i；-1/2-(√3/2)i

我們領(lǐng)略了復(fù)平面的威力。這種方法不僅比代數(shù)方法直觀省時(shí)，而且威力也不止于此：當(dāng)我們把問題拓展到求x?-1=0的所有根，在這種情況下因式分解不再適用，而復(fù)平面的方法仍然有效。我們只需從1開始對(duì)單位圓n等份，這n個(gè)等分點(diǎn)都是方程的根。寫成極坐標(biāo)式便是：

1∠k*(360/n)。（k=0,1,2,3,......,n-1）

這，就是單位根（Roots of unity）！

譯者注：過了這個(gè)章節(jié)后，我們將領(lǐng)略到更加瑰麗的數(shù)學(xué)。這需要讀者一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。盡管我已經(jīng)盡力去精簡(jiǎn)語(yǔ)句讓讀者理解，這一切還需要讀者的熱愛與身體力行。

如果您覺得我的文章有用，那便是我最欣慰的事！

拓展閱讀

在這一節(jié)中，我們把復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)形式，用到了以下公式：

1∠θ=cosθ+i(sinθ)

我們考慮兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的一般形式，設(shè)：

r?∠θ?=r?(cosθ?+isinθ?)

r?∠θ?=r?(cosθ?+isinθ?)

則根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的性質(zhì)：

(r?∠θ?)(r?∠θ?)=(r?r?)∠(θ?+θ?)

=(r?r?)[cos(θ?+θ?)+isin(θ?+θ?)]

這便是棣莫弗公式，它是直角坐標(biāo)系下對(duì)復(fù)數(shù)乘法性質(zhì)的數(shù)學(xué)表述。

特別的：

[r∠θ]?=(r)?∠(nθ)

=(r)?[cos(nθ)+i[sin(nθ)]

我們利用這個(gè)公式回過頭來解決卡丹的問題：

首先，我們把2+√-121和2-√-121寫成極坐標(biāo)形式：

2+√-121=2+11i≈11.1803∠79.6952°

2-√-121=2-11i≈11.1803∠-79.6952°

然后，我們分別對(duì)這兩個(gè)數(shù)開立方根，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

(2+11i)?=(11.1803)?∠1/3*(79.6952)≈2.2361∠26.5651°

(2-11i)?=(11.1803)?∠1/3*(-79.6952)≈2.2361∠-26.5651°

我們可以在圖上把這兩個(gè)點(diǎn)標(biāo)出來，我們猜測(cè)：

(2+11i)?=2+i

(2+11i)?=2-i

注：(2+11i)?的意思是對(duì)(2+11i)，即(2+√-121)開立方根。

我們驗(yàn)證一下：

(2+i)3=23+3*22*i+3*2*i2+i3=(23+3*2*i2)+(3*22*i+i3)=2+11i

(2-i)3=23-3*22*i+3*2*i2-i3=(23+3*2*i2)-(3*22*i+i3)=2-11i

所以我們證明了上式成立。

最后，我們把這兩個(gè)結(jié)果加起來：

(2+√-121)? + (2-√-121)? = (2+i)+(2-i)=4

我們便解決了卡丹的問題！這一切歸因于我們對(duì)復(fù)數(shù)乘法性質(zhì)的深入理解，才能通過數(shù)形結(jié)合的方式找到(2+√-121)和 (2-√-121)的立方根。

相信龐貝利看到你的解法一定會(huì)向你投以敬佩的目光！