第十二章 一元函數(shù)的微分

一、知識點

1. 微分產(chǎn)生的背景：
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2. 當(dāng)自變量x有微小變化時，求y=f(x)的變化量Δy=f(x+Δx)-f(x). 但對于復(fù)雜函數(shù)來說，直接計算Δy是困難的=>于是想將Δy表示稱Δx的線性函數(shù)。
3. 從例子中引出線性主部以及微分的概念：
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4. 微分的思想：線性化，或化曲為直。
5. 微分的概念：
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   08:02

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6. 設(shè)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，可以表示成Δy=AΔx+o(Δx),（A是與Δx無關(guān)的常數(shù)）Δx->0，我們就稱y=f(x)在x0這一點處可微。稱Δy的線性主部AΔx為函數(shù)y=f(x)在點x0處的微分，記作dy|(x=x0),df(x)|(x=x0)。即dy=AΔx,習(xí)慣上寫作Adx.
7. 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：
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   15:12

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8. 可導(dǎo)等價于可微（一元函數(shù)）
9. 看到Δy=AΔx+o(Δx)就說明函數(shù)在某范圍可微。什么范圍？看題中條件。如果是在x0點的鄰域內(nèi)式子成立，那么就是y=f(x)在x0處可微；如果是在某區(qū)間內(nèi)式子成立，那么就是y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可微。
10. 其中，當(dāng)式子是在x0點的鄰域內(nèi)式子成立時，式子中的A即為f'(x0)
11. 若f(x)可導(dǎo)，則dy=df(x)=f'(x)dx
12. 微分的幾何意義：
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    38:59

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13. 化曲為直
14. 見圖1：當(dāng)自變量變化量Δx非常微小時，我們可以用dy近似替代Δy.
15. 可微與連續(xù)性的關(guān)系：
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    47:41

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16. 可微<=>可導(dǎo)=>連續(xù)
17. 可微不一定是連續(xù)可微，（對應(yīng)f'(x)存在說明f(x)可導(dǎo)，但f'(x)不一定連續(xù)）
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    48:47

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18. 微分的計算：
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    01:01:05

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19. 注意題中要求的是dy還是導(dǎo)數(shù)，如果是dy結(jié)果中不要忘了加dx!!!

圖1：

二、證明

1. 證明“在一元函數(shù)中，可導(dǎo)等價于可微”：
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   15:59

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三、計算

1. 考察微分的概念：
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   24:41

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2. 考察導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系：
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   28:09

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   （多看幾遍）
3. 第一次做的時候的疑問：求出y'，知道y(0)的值，求y(x)，那必然要求原函數(shù)，但y'里面既有x又有y怎么求？——這是微分方程那一章的知識（忘光了）
4. 考察微分的概念（Δy與dy）：
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   35:24

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5. 本題糾正：可微表明可導(dǎo)，可導(dǎo)則dy/dx不可能是無窮。
6. 考察微分幾何意義：
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   44:53

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7. 第一眼看不知道在考啥：
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   52:18

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   （多看幾遍）
8. 抽象函數(shù)經(jīng)典方法：賦值。
9. 常用結(jié)論：
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   58:39

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10. limf(x)=A => lim|f(x)|=|A|,反之未必對
11. limf(x)=0 <=> lim|f(x)|=0
12. 練習(xí)一下取對和取指：
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    01:07:38

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