?先結束同濟書上二階齊次線性微分方程的最后一點內(nèi)容，再結束高鴻業(yè)書上“彈性”的內(nèi)容，最后說一下曼昆書上的兩個最基本的經(jīng)濟模型。

part 1 同濟《高等數(shù)學》常微分方程部分

二階線性微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。

——二階線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——f（x）恒為0；

非齊次方程——f（x）不恒為0。

注意：

1. 這里的齊次方程不要和之前的齊次方程混淆，是兩個完全不同概念；

2. 解的結構，涉及四個定理，我們已經(jīng)聊完了，今天進入二階線性微分方程的解法內(nèi)容，即，常數(shù)變易法——
   

一階非齊次線性微分方程的解法：

1. 解出對應一階齊次線性微分方程的解Cy*（x）；

2. 再令y=u（x）y*（x）；

3. 代入該非齊次線性微分方程中即可消去若干項，得到該方程的解。

二階非齊次線性微分方程的解法大同小異：

1. 已知對應二階齊次線性方程的解為Y（x）=C1y1（x）+C2y2（x）；——C1，C2為任意常數(shù)；

2. 令y=y1（x）v1（x）+y2（x）v2（x）；

3. 由2，dy/dx=y1'（x）v1（x）+y1（x）v1'（x）+y2'（x）v2（x）+y2（x）v2'（x）；

4. 因為v1（x）和v2（x）的給出只需要使函數(shù)y依然滿足原二階非齊次線性微分方程即可，所以，我們可以找到v1（x）和v2（x）使得，y1（x）v1'（x）+y2（x）v2'（x）=0；

5. 那么由3、4，可以得到y(tǒng)'=dy/dx=y1'（x）v1（x）+y2'（x）v2（x）；

6. 由5，y"=y1"（x）v1（x）+y1'（x）v1'（x）+y2"（x）v2（x）+y2'（x）v2'（x）；

7. 把2、5、6中的y、y'、y"代入待求方程d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x），即，（y1"v1+y1'v1'+y2"v2+y2'v2'）+P（y1'v1+y2'v2）+Q（y1v1+y2v2）=f；——將所有的（x）都省略掉，因為寫起來方便，只要記得里面的字母都是表示關于x的函數(shù)即可；

8. 我們將7中式子整理得到，（y1"v1+y1'v1'+y2"v2+y2'v2'）+P（y1'v1+y2'v2）+Q（y1v1+y2v2）=（y1'v1'+y2'v2'）+（y1"v1+Py1'v1+Qy1v1）+（y2"v2+Py2'v2+Qy2v2）=（y1'v1'+y2'v2'）+（y1"+Py1'+Qy1）v1+（y2"+Py2'+Qy2）v2=f；

9. 由1知，8中藍色式子為0，所以y1'v1'+y2'v2'=f；

10. 聯(lián)立4、9中的兩個方程，得到一個關于v1'和v2'的方程組，接著用Cramer法則解出v1'和v2'；

11. 再用直接求積分得到v1（x）和v2（x），再代入2中方程，即可求出y。

略微有點復雜，Cramer法則是線性代數(shù)的內(nèi)容，不算特別難，但是很重要。

有機會老碧寫一點數(shù)學基礎知識的文章，順帶復習一下代數(shù)學幾何學的基礎知識，最近發(fā)現(xiàn)許多常見名詞有遺忘的傾向，需要重新梳理基礎，上規(guī)劃，上規(guī)劃咯！

part 2.1?經(jīng)濟學概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學》第二章第五節(jié)：彈性——

第五節(jié)引入彈性的概念——

彈性——一般來說，只要兩個經(jīng)濟變量之間存在函數(shù)關系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量變化的反應敏感程度。

彈性一般公式——彈性系數(shù)=因變量的變動比例/自變量的變動比例。

弧彈性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：彈性系數(shù)，ΔX、ΔY變量X、Y的變動值。

點彈性公式——ΔX趨于0時，e=lim?（ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——極限值。

我們之前聊過了需求的價格彈性、供給的價格彈性的分類、特點、圖形分析、影響因素，今天聊剩下的兩個彈性的內(nèi)容，這部分就結束了，篇幅很長，比較重要，慢慢學、經(jīng)常復習就好。

需求的交叉價格彈性含義——表示在一定時期內(nèi)一種商品的需求量變動對于它的相關商品的價格變動的反應程度；或者說，它表示在一定時期內(nèi)一種商品的價格變化百分之一時所引起的另一種商品的需求量變化的百分比。

需求的交叉價格彈性公式——需求的交叉價格彈性系數(shù)=該商品的需求量變動率/相關商品的價格變動率。

需求的交叉價格彈性分類——

A.弧彈性——假定商品X的需求量QX是它的相關商品Y的價格PY的函數(shù)QX=f（PY）——

弧彈性公式——eXY=（ΔQX/QX）/（ΔPY/PY）=（ΔQX/ΔPY）*（PY/QX）——eXY表示需求的交叉價格彈性系數(shù)。

B.點彈性——當商品X的需求量的變化量ΔQX和相關商品價格的變化量ΔPY趨于無窮小時，需求的交叉價格彈性要用點彈性來表示——

點彈性公式——ΔPY趨于0時，eXY=lim[（ΔQX/QX）/（ΔPY/PY）]=（dQX/dPY）*（PY/QX）。

C.弧彈性和點彈性的符號——取決于所考察的兩種商品的相關關系。

以此研究不同相關關系的商品的相互影響——

1. 替代關系：如果兩種商品之間可以互相代替以滿足消費者的某一種欲望，則稱這兩種商品之間存在著替代關系，這兩種商品互為替代品；——商品漲價，則它的替代品的購買量則會增加，相應的需求的交叉價格彈性系數(shù)eXY為正值；

2. 互補關系：如果兩種商品必須同時使用才能滿足消費者的某一種欲望，則稱這兩種商品之間存在互補關系，這兩種商品互為互補品；——商品漲價，則它的互補品的購買量也會隨之下降，相應的需求的交叉價格彈性系數(shù)為eXY負值；

3. 如果兩件商品不存在相關關系，則相應的需求的交叉價格彈性系數(shù)為0。

反過來，可以根據(jù)兩種商品之間的需求的交叉價格彈性系數(shù)的符號，判斷兩種商品之間的相關關系。

需求的收入彈性含義——表示在一定時期內(nèi)消費者對某種商品的需求量變動對于消費者收入量變動的反應程度；或者說，它表示在一定時期內(nèi)消費者的收入變化百分之一時所引起的該商品的需求量變化的百分比。

需求的收入彈性公式——需求的收入彈性系數(shù)=需求量變動率/收入量變動率。

需求的收入彈性分類——

A.弧彈性——假定某商品的需求量Q是消費者收入水平M的函數(shù)，即Q=f（M）——

弧彈性公式——eM=（ΔQ/Q）/（ΔM/M）=（ΔQ/ΔM）*（M/Q）——eM表示需求的收入彈性系數(shù)；

B.點彈性——

點彈性公式——ΔM趨于0時，eM=lim[（ΔQ/Q）/（ΔM/M）]=（dQ/dM）*（M/Q）。

商品分類——

a.劣等品——消費者對該商品的需求量與收入呈反方向變化的商品；——即eM<0；

b.正常品——消費者對該商品的需求量與收入呈同方向變化的商品；——即eM>0——

1. 必需品——eM<1——收入下降時，對必需品的減少是有限的，即缺乏彈性的；

2. 奢侈品——eM>1——收入下降時，對奢侈品的減少是較多的，即富有彈性的。

恩格爾定律：在一個家庭或一個國家中，食物支出在收入中所占的比例隨著收入的增加而減少——彈性概念來表述：對于一個家庭或一個國家來說，富裕程度越高，則食物支出的收入彈性就越小，反之，就越大。

part 2.2?經(jīng)濟學概念——曼昆

曼昆《經(jīng)濟學原理》第一章介紹了經(jīng)濟學的幾條基本原則，第二章最重要的內(nèi)容是兩個最基本模型——

1. the circular-flow?diagram

2. the production possibilities frontier
   

明天開始逐一介紹！