牛頓283、無窮小等價替換定理；用泰勒展開式推導(dǎo)等價無窮小公式

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低階無窮?。ò俣劝倏疲骸?/p>

…階，無、窮、無窮，小，無窮?。阂姟杜ｎD280、281》…

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稱一個函數(shù)是無窮小量，一定要說明自變量的變化趨勢。例如x^2-4在x→2時是無窮小量，而不能籠統(tǒng)說x^2-4是無窮小量。

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…量：見《歐幾里得27》…

…變、化、變化：見《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說名…）

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

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無窮小的比較

…比、較、比較：見《牛頓114》…

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觀察無窮小比值的極限：

…極、限、極限：見《歐幾里得178》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍

v.限制；限定；限量；減量…]

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兩個無窮小比值極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小趨于0的“快慢”程度。

…反、映、反映：見《歐幾里得22》…

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在x→0 的過程中，x^2→0 比 3x→0 “快些”，反過來，3x→0比x^2→0 “慢些”，而sin x→0與x→0“快慢相仿”。

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

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為了應(yīng)用上的需要，我們就無窮小之比的極限存在、或為無窮大時，給出下面的比較定義。

…應(yīng)、用、應(yīng)用：見《歐幾里得181》…

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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定義，設(shè)α及β都是同一個自變量的變化過程中的無窮小。

…α：Alpha（大寫Α，小寫α，中文音譯：阿爾法、阿拉法），是第1個希臘字母…

…β：beta（大寫Β，小寫β，中文音譯：貝塔），是第2個希臘字母…

如果Iim（β/α）=0，就說β是比α高階的無窮小，記為β=0（α）；

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如果Iim（β/α）=?∞，就說β是比α低階的無窮小；

如果Iim（β/α）=?c≠0，就說β與α是同階無窮小；

如果Iim（β/α）=?1，就說β與α是等階無窮小，記為β~α；

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同階無窮?。ò俣劝倏疲骸?/p>

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同階無窮小量，其主要對于兩個無窮小量的比較而言，意思是兩種趨近于0的速度相仿。

…速、度、速度：見《伽利略3》…

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例如：

計算極限：lim（1-cosx）/x^2在x→0時，得到值為1/2，則說在x→0時，（1-cosx）與x^2是同階無窮小。

例如，因為

所以，在 x→3 的過程中，x^2-9 與 x-3是同階無窮小。意思是在x→3的過程中，（x^2-9）→0與（x-3）→0的快慢一樣。

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等價無窮?。ò俣劝倏疲骸?/p>

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無窮小等價關(guān)系刻畫的是兩個無窮小趨向于0的速度是相等的。

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等價無窮小替換，是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

…計、算、計算：見《歐幾里得157》…

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

…化：后綴。加在名詞或形容詞之后構(gòu)成動詞，表示轉(zhuǎn)變成某種性質(zhì)或狀態(tài)：綠～。美～。惡～。電氣～。機械～。水利～…見《歐幾里得2》…

…簡：見《歐幾里得77》…

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求極限時，使用等價無窮小的條件：

1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時，可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

公式

…公：見《歐幾里得1》…

…式、公式：見《歐幾里得132》…

注：以上各式可通過泰勒展開式推導(dǎo)出來。

…推、導(dǎo)、推導(dǎo)：見《歐幾里得7》…

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“牛頓用“路程的改變量ΔS”與“時間的改變量Δt”之比“ΔS/Δt”表示運動物體的平均速度，讓Δt無限趨近于0，得到物體的瞬時速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。

請看下集《牛頓284、導(dǎo)數(shù)又名微商，是微積分中的重要基礎(chǔ)概念》”

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若不知曉歷史，便看不清未來

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