先來(lái)看看up寒假作業(yè)上的一道題

這個(gè)D選項(xiàng)引起了up的注意，我們注意到：4剛好是2和8的幾何平均數(shù)，而t?也剛好是t?和t?算術(shù)平均數(shù)，提到這兩個(gè)東西我們馬上就聯(lián)想到了基本不等式

畫個(gè)圖

由于3?的圖象是下凸的，所以2點(diǎn)連線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)總是在兩點(diǎn)連線中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值上方，即（a+b）/2>√ab，這就是著名的基本不等式

而這幅圖還讓up連想起了另一個(gè)著名的不懂式——琴生不等式

?可以看出，這個(gè)東西和本期主題n元均值不等式長(zhǎng)得有點(diǎn)像，但n=2時(shí)，對(duì)f（x）=3?就有

這就是剛剛的基本不等式，又叫二元均值不等式。

接下來(lái)我們討論n元情況

對(duì)于f（x）=e?（不要問(wèn)我為什么選這個(gè)，跟e有關(guān)的東西求導(dǎo)一般都比較方便），其二階導(dǎo)數(shù)f''（x）=e?>0，所以f（x）為下凸函數(shù)（國(guó)外教材稱為凸函數(shù)，上凸函數(shù)國(guó)外稱為凹函數(shù)），那么根據(jù)琴生不等式就有

還是挺簡(jiǎn)單的

不過(guò)這次證明用了琴生不等式這個(gè)外掛，可能有一部分朋友不知道這個(gè)不等式，知道的可能也有一部分不會(huì)證，所以下次還會(huì)介紹其他證法，有空也會(huì)說(shuō)一下琴生不等式

另外，用今天的方法，選取合適的函數(shù)，還可以證明以下不等式

包括柯西不等式也可以用這種方法證明

這些算是小作業(yè)吧

好了，本期專欄到此結(jié)束，有問(wèn)題可以評(píng)論私信或者直接加我QQ（在個(gè)人簡(jiǎn)介里）

求贊 (*?????)