【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第四章因式分解

§4-3分組提取公因式的因式分解法

【01】我們來分解多項式：ax＋ay＋bx＋by 的因式。

【02】這是一個四項式。在四項里沒有公共的因式，所以我們不能直接應(yīng)用提取公因式的因式分解法。

【03】仔細(xì)考察這個多項式，可以看到它的前面兩項都有一個因式 a，把它提出以后得到 ax＋ay＝a(x＋y)? 。同時，這個多項式的第三項和第四項也都有一個因式 b，把它提出以后，得到 bx＋by＝b(x＋y)? 。

【04】所以多項式 ax＋ay＋bc＋by 可以化成 ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)? 。

【05】因為 x＋y 是 a(x＋y) 和 b(x＋y) 的公因式，再把它提出就得?ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)? 。這樣，我們就把原來的多項式分解成兩個整式的積。

【06】象這樣的分解方法，叫做分組提取公因式的分解法。

例1.分解因式：ax＋bx＋cx＋ay＋by＋cy? 。

【解1】把含有 x 的項與含有 y 的項分成兩組，每組各三項，得

【解2】把含有 a 的、b 的、c 的各項分成三組，每組各兩項，得

例2.分解因式：ax＋bx－ay－by? 。

【解1】ax＋bx－ay－by＝(ax＋bx)－(ay＋by)＝x(a＋b)－y(a＋b)＝(a＋b)(x－y)；

【解2】ax＋bx－ay－by＝(ax－ay）＋(bx－by)＝a(x－y）＋b(x－y)＝(x－y）(a＋b)? 。

例3.分解因式：ax3－ax2＋ax－a? 。

【解】先提取公因式 a，再分組分解。

【注意1】從 a(x3－x2＋x－1) 變到 a[(x3－x2)＋(x－1)]時，不要漏掉中括號，如果寫做a(x3－x2)＋(x－1)，那就錯了。

【注意2】a[(x－1)(x2＋1)]的中括號不需要了，因為三個因式，可以依次相乘，所以最后變成a(x－1)(x2＋1)? 。

【附注】象四項式 ax＋ay＋bx一by，分組后可得 a(x＋y)＋b(x－y)，或 x(a＋b)＋y(a－b)，但不再有公因式，最后的運(yùn)算仍舊是加法，沒有達(dá)到因式分解的要求。這個四項式是不能分解因式的。

習(xí)題4-3

分解因式：

[提示：by2 與 ay2 調(diào)換位置，或 by2 與 bx2 調(diào)換位置]

【答案】