一、整體感受

1、略微麻煩，相比之前一節(jié)，這里x取的時候需要觀察；

2、對于反三角函數(shù)的性質需要一定的復習

二、需要復習的一些知識點

1、一些三角函數(shù)性質

sin(aπ）≠0，（這里是a，不是n，a∈(0,1))

sin(a+n)π=sin(aπ+nπ）=(-1)^n*sinaπ

2、積化和差以及和差化積公式（注意積化和差口訣中“異名函數(shù)取正弦”，這句話的意思針對本題就是“同名函數(shù)取余弦”）

（1）積化和差公式記憶口訣：

積化和差得和差，余弦在后要相加；

異名函數(shù)取正弦；正弦相乘取負號！

（2）和差化積公式記憶口訣：

正+正，正在前；余+余，余并肩；

正-正，余在前； 余-余，負正弦！

3、對于計算過程中，可以先觀察，不要死算！

利用奇偶函數(shù)的性質來操作。

對于反三角函數(shù)的話可以利用奇偶函數(shù)對于【-π，π】轉換成【0，π】的情況中，此時可以讓函數(shù)的取值分在【0，π/2】和【π/2，π】兩段，不需要去看【-π，0】的情況。

4、比較arcsin(sinx)和arcsin(cosx）的Fourier級數(shù)展開結果

三、具體題目

1（北京師大）

第一問：

由于f(x)是偶函數(shù)，所以bn=0；

再去算a0,an（算an過程需要用到積化和差公式）；

符合收斂定理，寫出f(x)；

令x=0，去變形轉換便可以得到。

第二問：

觀察到第一問要證的和第二問的關系，發(fā)現(xiàn)第一問是sinaπ，第二問是sinx，所以不妨讓x=aπ，于是a=x/π

化簡即可，同時關注到要證明的一個是π，一個是積分，不如讓π化成在【0，π】上的被積函數(shù)為1的積分；

繼續(xù)觀察已知式子中有π/x,而要驗證的式子是sinx/x，二者相差啥就做啥，于是對于已知式子入手，對于π/x,同乘sinx,同除π，便可得到。

注：做出這兩道題的關鍵就在于觀察

2（廣西大學）

①先算f(x),由于是奇函數(shù)，注意f(x)要分成幾段，因為arcsin(sinx)=x,x∈【-π/2,π/2】，剩下兩段范圍是不一樣的，所以另外兩段函數(shù)值需要變量替換算（對于【-π，-π/2】這段上，令x+π=t,此時t∈【0，π/2】；對于【π/2,π】這段上，令x-π=t,則t∈【-π/2,π/2】）最后把t換成x即可。

②由于f(x)是奇函數(shù)，所以an=0;接著算bn（算bn的過程，注意要先觀察再算，【-π，π】可以變?yōu)?倍的【0，π】）

③利用收斂定理，得到f(x)的Fourier級數(shù)展開式。

補充：arcsin(cosx)的Fourier級數(shù)展開式

（比較一下arcsin(sinx)的Fourier級數(shù)展開式的結果區(qū)別）