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許埈珥是2022年菲爾茲獎的得主之一。菲爾茲獎每四年頒發(fā)一次，只頒發(fā)給40歲以下的數(shù)學家，被譽為數(shù)學界的最高榮譽之一。

許埈珥的故事在數(shù)學界一定會是一段經(jīng)典的傳奇

這位數(shù)學家太非同尋常

能成為頂級數(shù)學家的人，在他們小時候一般都被視為“神童”。很早就表露出天賦，在學校里奪得所有的數(shù)學競賽的獎牌，并按照命中注定的伏線走向通往偉大的道路。

許埈珥是完全的另類。小學時成績就不好，高中時覺得上學無聊，書不念了去寫詩。他最終選擇了做數(shù)學，不是因為這個學科，而是因為一個人。就當他即將從首爾大學的物理及天文專業(yè)畢業(yè)的時候，他了解到著名數(shù)學家廣中平佑在他學校開著一門課?！拔覍?shù)學一無所知，但我看過廣中平佑自傳。這人非常有趣，所以我就選這門課了”

課程是對廣中平佑所作工作的即時反饋，講述了他最近產(chǎn)生的對數(shù)學的思考洞見。"這是我第一次見把數(shù)學當職業(yè)的真人"，許埈珥說，"我第一次把數(shù)學當作人類活動而接觸這個學科"。這種人類活動帶來的愉悅讓許埈珥深陷其中，如癡如醉。

肉眼可見的數(shù)數(shù)

許埈珥說他做的數(shù)學非常直觀。因為數(shù)學訓練不多，職業(yè)生涯的初期他只關(guān)注如他所說的“肉眼可見”的對象?！艾F(xiàn)代數(shù)學的很多領域都研究得非常深入了，你光理解領域內(nèi)的核心問題都要好幾年時間，”許埈珥說，“這就像天文學，你要做出成績，需要先入手一個百萬美元的望遠鏡?！?/p>

組合數(shù)學就不太一樣：組合數(shù)學是數(shù)數(shù)的藝術(shù)，數(shù)的東西總能數(shù)得出來。因為那些東西都是有限多個，而且還是離散的。組合數(shù)學中最典型的問題是，一種撲克牌的牌型有多少種?！八械臇|西都是實實在在的，你甚至可以觸摸到它們”，許埈珥說，“組合數(shù)學就算我肉眼能看到的那部分數(shù)學?！?/p>

如果數(shù)數(shù)被認為是數(shù)學的基柱之一——人們小時候做的第一類數(shù)學活動，從生物角度看，我們?nèi)祟愒谡Q生之初就做在做這樣的事情——那么還有一個基柱必須是幾何?！皫缀螌λ腥藖碚f都是相同的，”許埈珥說。“我們是視覺動物，視覺是我們的主要感官。我們通過視覺產(chǎn)生的幾何而不是通過聲音、味道或氣味來了解我們周圍的世界?！?/p>

雖然您可以在不遇到概念困難的情況下進行大量計數(shù)，但幾何圖形更具欺騙性。一個多節(jié)土豆的形狀是我們一看到它就會立即得到的東西，但是當我們沒有圖片來描述它時，我們很快就被難住了。“幾何很難形式化，”Huh 說。“它包含大量信息，尤其是當您將其與我們的語言和邏輯的復雜性進行比較時?！?/p>

雖然你可以在不基于任何高深數(shù)學概念的情況下進行數(shù)數(shù)，但幾何上的計數(shù)會有很多誤導。比如我們很容易看清一個長有很多疙瘩的土豆，但當我們沒有一個合適的圖形描述它的時候，我們就會犯難。"幾何很難被形式化"，許埈珥說，"尤其和我們的語言和邏輯對比的時候，你會發(fā)現(xiàn)幾何包含的信息實在太多了。"

然而，當你使用方程的時候，奇跡發(fā)生了。比如方程y=x精確定義了一條平面上的直線。對直線上每個點匹配一個坐標(x,y)，然后這些把滿足方程的所有坐標標記出來即可。

同樣的方法，你可以回憶你中學學過的方程y=x2，這是一條拋物線。

類似的，不同的方程能描繪出不同的形狀。這就和那種不規(guī)則的土豆不同，我們就可以用代數(shù)工具來研究幾何了。數(shù)學中這是一個專門領域，叫做代數(shù)幾何。

“在代數(shù)幾何中，為了精確表述一個幾何空間，你要做的就是寫下一個方程，甚至這個方程都不是很復雜，比如多項式方程?！?許埈珥說，“你可以把它寫在你的小本本上，然后看看——這是你可以看得見摸得著的東西。這是我職業(yè)生涯初期中唯一能動手做的東西。這就是為什么代數(shù)幾何也吸引了我。

唯一的最小值

許埈珥獲得菲爾茲獎的數(shù)學成果是非常艱深的理論，涉及代數(shù)簇和霍奇理論。但當讓許埈珥說出一個他自己引以為傲的成果時，他說的是一種用一些簡單信息暗含深刻結(jié)果的一些數(shù)學方法。這個方法建立了連續(xù)和離散的橋梁，就算不從數(shù)學考慮也很有意思。

為了描述這個方法，我們還是從之前的拋物線y=x2開始。

這個拋物線有個重要性質(zhì)，就是在藍色的點處取得唯一的最小值。

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拋物線只有一個最小值的原因是，它不會向上凸出。這與下面顯示的曲線y=x^4 + 2x2 - x/2形成對比，該曲線在底部有一個向上的凸起，會產(chǎn)生兩個局部的最小值(極小值)。

換種說法，我們說拋物線的上方區(qū)域是(下)凸的，但第二條曲線不是。標準說法是，一個區(qū)域是凸的是指，其內(nèi)部任何兩個點連接的線段仍然在其內(nèi)部。那么拋物線就是凸函數(shù)。而第二個函數(shù)是非凸函數(shù)。

當一個函數(shù)涉及多個變量的時候，也有凸的概念。如果是兩個變量，就對應只有一個山谷的概念，而不是復雜的山脈。如果是更高的維度，圖像無法畫了，但依然可以定義凸的概念。

求最優(yōu)解

凸函數(shù)是非常重要的，因為我們在日常生活中都多多少少會遇到求最小值的問題。比如，你造車，你會想辦法降低車的油耗。這個油耗就和一些變量相關(guān)，比如車的重量和空氣阻力。如果有人給你了用這些變量描述的油耗函數(shù)，你就要去找這個函數(shù)的最小值。而這個函數(shù)可能是包含很多變量的復雜函數(shù)，那么找到這個最小值就非常困難。

但是，如果這個函數(shù)是凸函數(shù)，那么問題就容易得多，因為凸函數(shù)的極小值是唯一的(所以這個極小值就是最小值)。你甚至可以用一種“憑感覺”的手段來尋找這個最小值：就算你不看圖像，你也能感受到走那邊是往下走的，向那個方向走一小段，然后繼續(xù)“憑感覺”探路。對于更多變量的函數(shù)無法畫圖像的時候，這個手段依然奏效。

但對于非凸函數(shù)，這種“憑感覺”的方法就會誤導你：你得到的可能是眾多極小值中的一個，你無法確定它是某個局部的低點，還是全局的最小值。

建立聯(lián)系

對于優(yōu)化問題，數(shù)學中的凸分析是個無價之寶。但問題是，凸分析針對的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。如果不是身處連續(xù)的曲線上，而是在一個和別的島嶼分離的小島上，那你周圍就沒有信息讓你“憑感覺”探路了。

"但是，我們身處世界是越來越數(shù)字化的，也就是離散化的"，許埈珥說，“我們會經(jīng)常對某些離散情形做最優(yōu)化，為此你需要一種不同的技術(shù)手段?！北M管搞優(yōu)化的學者們已經(jīng)開發(fā)了一個框架來處理離散問題，但這兩個領域直到最近還沒有明確地聯(lián)系起來。"盡管連續(xù)情形和離散情形兩者問題類似，但還沒找到直接的聯(lián)系，"許埈珥說。

許埈珥在他和同事們所做的就是通過巧妙的觀點轉(zhuǎn)變找到這樣的聯(lián)系。上面的方程y=x2描述了一條連續(xù)的曲線，但它本身是由有限數(shù)量的離散信息定義的——這就是我們很容易將它寫在小本本上的原因。我們只需要知道變量 x 和 y 的冪的次數(shù)，這些它們系數(shù)是多少，以及等號的位置。因此，這個方程可以視為離散對象。

基于這個觀點許埈珥和布蘭登(Petter Br?ndén)研究出了一種適用于洛倫茲多項式的深層理論。對于洛倫茲多項式，兩種凸性的角度——一種從連續(xù)角度一種從離散角度——通過多項式的兩種不同視圖自然地聯(lián)系在一起：一方面作為連續(xù)對象，另一方面作為離散對象。

“找到這種形式聯(lián)系非常令人滿意?！痹S埈珥說，“對我們來說，更讓人欣喜的是，一旦有了這樣的聯(lián)系，你可以用一種非常自然和簡單的方法去解決那些被認為技術(shù)性很強且非常難的問題?！?/p>

數(shù)學是人性的鏡子

如果有人能把數(shù)學中看似不相關(guān)的領域聯(lián)系起來的時候，數(shù)學學科往往能產(chǎn)生巨大的進展。不過，從某種意義上說，許埈珥認為我們不應該對這些聯(lián)系感到驚訝?！斑@并不奇怪，因為數(shù)學領域的細分，或者說人的感覺的細分——組合的、幾何的和分析的——只是我們作為一種生物及其感覺器官數(shù)百萬年變遷的結(jié)果。如果我們是一種不同的生物，擁有不同的感覺器官和不同的環(huán)境，我們也許會發(fā)展出完全不同的數(shù)學領域?！?/p>

如果數(shù)學領域的界限的產(chǎn)生如此偶然，那么數(shù)學中一些最深奧的問題跨越這些界限也就不足為奇了。從這個意義上說，我們開發(fā)的數(shù)學是我們?nèi)诵缘囊幻骁R子?！八故局?，我們是誰，我們?nèi)绾嗡伎??！?/p>

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