上文明確了根據(jù)節(jié)點和積分點劃分的不同類型單元的分類和使用場景，但是對于其中出現(xiàn)的一些專有現(xiàn)象名詞并沒有詳細解釋，本文試從有限元原理著手，簡單了解產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因。

（本部分內(nèi)容源自彈塑性力學-陳慧發(fā)部分內(nèi)容、有限單元法-清華大學出版社第4章及第5章）

?本文關(guān)鍵詞?

沙漏行為、偽應(yīng)變能、剪切自鎖、體積鎖定

01

沙漏行為

舉個例子說明，當8節(jié)點縮減積分單元出現(xiàn)下圖1所示位移模式時，可計算出該單元應(yīng)變能為0，會產(chǎn)生有別于剛體運動的零能模式，單元沒有表現(xiàn)出剛度，不能得到有意義結(jié)果，且整體網(wǎng)格越粗糙，效應(yīng)越明顯。

因其在實體單元典型的位移模式是一個梯形體狀似一個沙漏（圖2虛線），因此這種此種單元行為又稱為沙漏行為。在一些軟件如abaqus中當使用縮減積分時會增加沙漏剛度的定義項來緩解此種行為。

但是因為引入了人工定義的沙漏剛度，會產(chǎn)生原本模型不應(yīng)該存在的能量，稱為“偽”應(yīng)變能ALLAE。因此當發(fā)現(xiàn)偽應(yīng)變能過大時候，一般占比超過總能量的5%就需要考慮細化網(wǎng)格或做其它相應(yīng)處理（厚度方向上若采用縮減積分單元應(yīng)保證至少四層單元），否則計算結(jié)果可能存在問題。

02

自鎖行為

該行為存在于完全積分單元中，分為剪切自鎖和體積自鎖：當完全積分問題用于彎曲問題時，會出現(xiàn)剪切自鎖；用于不可壓縮問題，出現(xiàn)體積自鎖。產(chǎn)生原因都是單元剛度增大導致的變形值相對實際過小，但原理上略有不同。

?剪切自鎖?

剪切鎖死是指在理論上沒有剪切變形的單元中發(fā)生了剪切變形，一般發(fā)生于在受純彎狀態(tài)下，采用線性單元全積分時，主要現(xiàn)象使得模型彎曲剛度增大導致變形偏小，如考慮從受彎曲梁上取一單元研究：

圖中所示單元為線性單元，但受彎曲時其變形模式理應(yīng)如圖3a，但由于采用的形函數(shù)為線性，變形后的網(wǎng)格實際如圖3b，產(chǎn)生了多余的剪應(yīng)變，并且由于采用完全積分，剛度矩陣相對更為精確，就會使得單元“偏硬”，與實際結(jié)果不符。

解決方法如下：

可使用縮減積分單元、高階單元、細化網(wǎng)格來消除剪切自鎖，若使用完全積分單元應(yīng)避免單元長寬比過大，或者使用非協(xié)調(diào)單元，關(guān)于這種單元我們后面會提及。

?體積自鎖?

同樣在完全積分單元中。在某些情況下，得到了過大的剛度，從而影響最終結(jié)果。特別是在超彈性分析或者是近理想塑性材料，如果材料是不可壓縮的或是近似不可壓縮的或者是進入塑性后近乎理想塑性的，完全積分單元可能會變得特別剛硬幾乎不會產(chǎn)生體積變形。對于三維情況下，楊氏模量推廣后我們可以得到體積模量和剪切模量?？疾祗w積模量的形式：

不可壓縮材料的泊松比無限接近于0.5，分母趨近于0，就會導致體積模量趨近于無窮大，這時若使用全積分計算就會導致剛度過大，結(jié)果不準確甚至計算不收斂。

解決方法如下：

此種分析下合適選取單元類型如線性縮減積分單元并細化網(wǎng)格；或者引入可壓縮性，當結(jié)果不準確或求解不收斂時，適當調(diào)小泊松比，試驗表明，近不可壓縮性和完全不可壓縮性計算結(jié)果很接近；若是近理想塑性材料應(yīng)在可能的塑性區(qū)細化網(wǎng)格。

接下來是四面體和六面體的比較：四面體單元在劃分幾何形狀比較復雜的物體時，可以以較高的單元質(zhì)量快速劃分，節(jié)省大量時間成本。但是四面體單元在同等單元尺寸下會產(chǎn)生更多的單元和節(jié)點，在隱式算法中增加了更多方程組，在顯式分析中，會導致更小的步長均會導致求解時間更長。此外由于單元形函數(shù)性質(zhì)，如果使用較為粗糙的線性四面體單元，將會導致結(jié)果特別是應(yīng)力結(jié)果也不準確。

參考資料

《彈塑性力學》陳慧發(fā)

《有限單元法》王勖成