問題背景

????????在游戲《BanG Dream！少女樂團派對》日服第168期活動中，實裝了牛込里美（Ushigome Rimi）的4★卡【ソウルフル（Soulful，日語羅馬音：Sourufuru）】。以下是該卡技能的效果：

7秒間 スコアが100%UPし、さらにPERFECTを出すたびに、スコアUPの値が0.5%ずつUP（最大150%まで）

7秒內(nèi) 提升得分100%。每一次得到PERFECT判定，提升得分的比例會增加0.5%（最大到提升150%）

????????這是“每得到PERFECT就提升加分比例的分卡”在本游戲中的首次實裝。研究此類分卡的技能強度，對最優(yōu)卡組的組建具有重要意義。本文將對該卡技能的強度進行探討，并給出計算此類分卡加分比例期望的通用公式。

計算過程

????? ? 要想獲得150%的得分加成，至少需要在7秒內(nèi)擊中(150-100)÷0.5=100個NOTE，為此需要該段譜面的NPS（每秒NOTE數(shù)）至少為100÷7≈14.3。而鑒于目前全游戲NPS最高的《HELL!?or HELL?》SP難度的NPS也僅有11.0，故在下面的討論中，認為150%的得分加成是不會被達到的。

????????在沒有技能加成時，對于任一NOTE，得到PERFECT和GREAT判定時所得得分之比為1.1:0.8，不妨設對于任一NOTE，擊中得PERFECT時得1.1分，得GREAT時得0.8分。

????????假設一人在按下任一NOTE時，得到PERFECT判定的概率為，且不會出現(xiàn)GOOD及以下的判定，那么在沒有任何技能加成的情況下，其在一有個NOTE的樂曲片段中，得到的PERFECT數(shù)服從二項分布，其得分的期望：

????????假如在該段樂曲片段中，有牛込里美【ソウルフル】卡的技能發(fā)動。

• ①假如得到PERFECT判定時，這個NOTE立即得到額外+0.5%得分加成。

????????那么，對于這一片段中第i個NOTE，它所得到的得分加成取決于在它之前的i-1個NOTE的判定情況，和第i個NOTE本身的判定情況。在它之前的i-1個NOTE給它帶來的額外得分加成的期望是p(i-1)×0.5%。當它自己是PERFECT判定時，得分加成的期望再加0.5%，否則不加。于是有：

????????因此加分比例期望就等于：

• ②假如得到PERFECT判定時，要到下一個NOTE才會得到額外+0.5%得分加成。

????????則簡單地有：

????????加分比例期望是就等于。

總結、討論

????????①如果得到PERFECT判定時，這個NOTE立即得到額外+0.5%得分加成，那么加分比例期望的計算公式是：

????? ? 公式中N是技能作用段中的NOTE數(shù)，p是PERFECT率，下同。

????????②如果得到PERFECT判定時，要到下一個NOTE才會得到額外+0.5%得分加成，那么加分比例期望的計算公式是：

????????出于游戲實際情形，我們分別取N=40,50,60,70，取p=0.90,0.92,…,1.00，按①情形下的公式得到加分比例期望是：

????????按②情形下的公式得到加分比例期望是：

????????我們看到，在所給條件下，這張卡的技能強度和110%大分卡基本相當■。