封面阿萬音鈴羽（橋田鈴） 2017.9.27出生 歡迎回來

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你是否聽說過理發(fā)師悖論？

故事如下（轉(zhuǎn)自百度百科，不作為商業(yè)用途）

在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

這種有趣的問題常常吸引人去思考討論，但理發(fā)師悖論本身確是羅素悖論的簡化翻版，這樣的一個小故事是如何引發(fā)了數(shù)學上的大危機的呢？又是如何讓邏輯學大師弗雷格說出“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎(chǔ)崩潰了”這樣的感慨的呢？

如果還記得高中的數(shù)學課，學過一章叫做集合。我們知道，集合的元素要有確定性，在一個集合中，所有的元素都有一種明確的性質(zhì)。例如：高的人是否為一個集合？答案是否定的，因為高這個性質(zhì)不明確。

這正是由偉大的數(shù)學家康托爾在十九世紀提出的樸素集合論規(guī)定的，集合論的出現(xiàn)極大的推動了哲學的語言學轉(zhuǎn)向，日常語言中的性質(zhì)可以被量化為數(shù)學中的集合規(guī)定，這對于追求精準語言的哲學家有著致命的吸引力。

回到我們剛才提到的理發(fā)師悖論上，理發(fā)師的言行出現(xiàn)了矛盾，而這又能說明什么呢？只能說明“給不自己刮胡子的人刮胡子”這樣的理發(fā)師不存在罷了。tan90°

而羅素悖論的真正意義在于，其有力的指出了樸素集合論的一個致命弱點。

羅素悖論如下：

設(shè)集合S是由一切不屬于自身的集合所組成，即“S={x|x ? S}”。那么問題是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，則不符合x?S，則S不包含于S；其次，若S不包含于S，則符合x?S，S包含于S。

如果依照以上所說，這樣的集合因為自相矛盾而不存在，即“不屬于自己”這一性質(zhì)沒有對應(yīng)的集合，這就與樸素集合論的規(guī)定“有一個明確的性質(zhì)則必有一個對應(yīng)的集合”沖突了，樸素集合論就此被顛覆了。這絕不是一件小事情，數(shù)學作為一直被稱贊的確定性的學科（與以歸納法為基礎(chǔ)的自然科學相對），此大廈的根基被動搖了。其中比較重要的一個影響就是動搖了無窮集合的確定性，似乎只有有窮數(shù)學才是確定的。

這一悖論被羅素本人和后來的邏輯學家“解決”（繞開）了，這就是公理集合論的建立了，預設(shè)了一些邏輯學上的前提公理以回避這一問題。具體可以查詢詞條“ZF公理系統(tǒng)”，筆者才疏學淺，不再贅述。

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不知道有沒有闡明清楚羅素悖論的意義。如有不當，不清楚之處，勞煩指出

個人認為，這其實是一個很好的例子去分辨什么是哲學類的大眾知識和哲學知識本身，乃至科學類大眾知識和科學知識本身，往往結(jié)論是易懂的，通俗的，可以低門檻任意談?wù)摰?，但是背后的緣起和過程卻少為人所知。而往往后者才是一個成熟學科的意義所在。