首先明確該問題是幾何概型的一種（http://www.zhihu.com/question/26395948），也就是說假設(shè)單次事件發(fā)生的概率為，那么要到第次才發(fā)生的概率為二項(xiàng)分布中的情況：


由于我們已經(jīng)確定了事件發(fā)生一定是最后一次，因此可以反過來統(tǒng)計(jì)所有情況中的期望，也就是：


將減去可得：


可知就是等比數(shù)列之和，且此和為，因此問題轉(zhuǎn)化為求的值。

注：也可用隨機(jī)過程馬爾科夫鏈中的first time passage來解釋，此處不表。貼吧有大佬提到此問題其實(shí)類似于多項(xiàng)分布（https://tieba.baidu.com/p/8537490099），由于我水平有限，只能用二項(xiàng)分布進(jìn)行探討，在此對(duì)于給予的指導(dǎo)表示感謝。

然而，由于塔菲表情包要求至少三張不同卡牌，也就是說實(shí)驗(yàn)必須至少從第二次起算（最多可能抽無窮大次也抽不中）。

從第二次開始，一共有兩種情況：前兩張卡牌相同或者不相同。對(duì)于后面的卡牌而言，不受到前兩次抽取的影響，也就是無記憶性的（Memoryless Property）。因此根據(jù)幾何概型，應(yīng)從前兩張卡牌相同和不相同分情況探討。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，先考慮前兩張卡牌相同的情況。

①第一種情況，前兩張卡牌相同，根據(jù)古典概型該情況共有24種可能性，經(jīng)計(jì)算得概率為5.281605%（無后續(xù)數(shù)位）。

②第二種可能性，前兩張卡牌不相同，由情況①可知該情況的可能性為94.718395%（實(shí)際上是94.898476%，這是由于四舍五入造成的微小誤差）。此時(shí)面對(duì)第三次抽卡，問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的二項(xiàng)分布，且為剩下22張卡牌的概率之和。但是，由于剩下22張卡牌的概率與前兩張卡牌有關(guān)，因此必須先通過古典概型分類討論：

使用excel計(jì)算的結(jié)果如下，第②種情況時(shí)平均需要1.060966629次可以抽到三張不同卡牌（基本一次中）：

回到第①種情況，前兩張卡牌相同時(shí)，此時(shí)由于仍然不知道第三張卡牌是否會(huì)相同，因此必須繼續(xù)分類討論。
(1)假設(shè)第三張卡牌和前兩張不同，問題轉(zhuǎn)化為第③種情況，但前兩次的概率計(jì)算公式不同，需對(duì)第一張卡牌計(jì)算兩次：

得到結(jié)果為0.056次。


(2)假設(shè)第三張卡牌和前兩張仍然相同，該種可能性之和為0.2930921%，由于可能性太低可不作考慮。

綜上，我們根據(jù)前三次抽取的情況做了如下探討：


①AB型，該種可能性的概率為94.898476%，平均需要再抽取次數(shù)為1.060966629次
②AA型，該種可能性的概率為5.281605%，下又分兩種情況：
(1)AAB型，該種可能性的概率為4.9885129%，平均需要再抽取次數(shù)為0.056次。
(2)AAA型，該種可能性的概率為0.2930921%。


總平均抽取次數(shù)為2+1.06+0.056+0.0293*2=3.1746次。

為檢驗(yàn)該數(shù)字的正確性，使用蒙特卡洛方法在python中進(jìn)行一億次抽樣，代碼如下：

得到結(jié)果為3.17381068次。

由于3.17381068與3.1746較為接近，可以認(rèn)為計(jì)算比較符合現(xiàn)實(shí)。然而由于本文過度簡(jiǎn)化了實(shí)際概率情況，導(dǎo)致可能出現(xiàn)三位小數(shù)以后的誤差，造成一定的不足。