歐幾里得30、歐多克斯的證明，數(shù)系，軸、數(shù)軸

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200年后，約在公元前370年，柏拉圖的學(xué)生歐多克斯（Eudoxus，約公元前408—前355）解決了關(guān)于無(wú)理數(shù)的問(wèn)題。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之比”的新說(shuō)法，回避了無(wú)理數(shù)的實(shí)質(zhì)，用幾何的方法去處理不可公度比。他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。并且和狄德金于1872年繪出的無(wú)理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。

…量、比：見(jiàn)《歐幾里得27》…

…不可公度：見(jiàn)《歐幾里得24》…

…歐多克斯十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之比”的新說(shuō)法：？…

…歐多克斯處理不可公度的辦法：？？…

網(wǎng)上名為《數(shù)學(xué)的真相》的PPT，描述了歐多克斯處理不可公度的辦法。

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PPT內(nèi)容：“比例”的新定義——消除了幾何上的危機(jī)

…比、例、比例，定、義、定義，幾、何、幾何，危、機(jī)、危機(jī)，幾何上的危機(jī)：見(jiàn)《歐幾里得28、29》…

比例的新定義——定理：如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積之比等于兩底之比。

…定、理、定理：見(jiàn)《歐幾里得2》…

“三角形面積公式是底乘高除以2。面積用S表示，底用a表示，高用h表示，三角形面積公式就是：s=1/2ah?！敝袑W(xué)生說(shuō)。

“三角形1的面積公式是s1=1/2a1h1，三角形2的面積公式是s2=1/2a2h2，它們比一下就是s1/s2=（1/2a1h1）/（1/2a2h2），”中學(xué)生接著說(shuō)，“高相同…高都用h表示…比例公式就變成s1/s2=（1/2a1h）/（1/2a2h）?！?/p>

“1/2約掉，h約掉，于是得出s1/s2=a1/a2，即：如果兩個(gè)三角形的高相同，則他們的面積之比等于兩底之比。”中學(xué)生最后說(shuō)。

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對(duì)于比例的新定義，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的證明是：假設(shè)線段BC，DE分別是某公度線段的P倍和q倍；將△ABC和△ADE分別分成p和q個(gè)小三角形，則△ABC/△ADE=p/q=BC/DE。

…公度：見(jiàn)《歐幾里得24》…

（…公度和公約：對(duì)于兩條線段a，b，總能找到第三條線段c，使得這兩條線段都可以分成c的整數(shù)倍，這時(shí)我們就說(shuō)，c是a、b的度量單位，并說(shuō)a、b是可公約的或可公度的…）

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“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的證明比歐多克斯的證明簡(jiǎn)潔得多，這里就不闡述歐多克斯的證明了…只展示下圖片：”PPT作者說(shuō)。

“‘無(wú)法用整數(shù)或分?jǐn)?shù)將邊長(zhǎng)1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度表示出來(lái)’，‘邊長(zhǎng)1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度’既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，它是種新的數(shù)，”PPT作者說(shuō)，“當(dāng)時(shí)人們覺(jué)得，整數(shù)和分?jǐn)?shù)是容易理解的，就把整數(shù)和分?jǐn)?shù)合稱‘有理數(shù)’；新發(fā)現(xiàn)的數(shù)不好理解，就取名為‘無(wú)理數(shù)’?！?/p>

…有、理、有理、有理數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得25》…

…無(wú)、無(wú)理數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得27》…

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“無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了人們對(duì)數(shù)系的思考，”PPT作者接著說(shuō)。

…數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得15》…

…系：見(jiàn)《歐幾里得25》…

…數(shù)系：？？？…

“數(shù)系這個(gè)詞看上去如此簡(jiǎn)單，網(wǎng)上卻沒(méi)有對(duì)它的準(zhǔn)確解釋，”中學(xué)生說(shuō)，“這里暫時(shí)把它理解成‘互相聯(lián)系的數(shù)、的集合’‘互相聯(lián)系的數(shù)、的總稱’。”

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“古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，有理數(shù)能把數(shù)軸上的點(diǎn)用完。發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)后，人們知道了：數(shù)軸上除了有理數(shù)，還有無(wú)理數(shù)。”PPT作者繼續(xù)說(shuō)。

…軸：形聲。從車，由聲。本義：輪軸。

字義：1.機(jī)械中主要零件之一。一般為金屬圓桿，輪子和其他轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)件繞著它或隨著它轉(zhuǎn)動(dòng)：車～。轉(zhuǎn)～。

2.圓柱形的器物，可往上卷或繞上東西：線～兒。畫～。

3.量詞。用于繞在軸上或卷在軸上的東西：兩～線。一～山水畫。

4.數(shù)學(xué)上指一條直線，周圍的點(diǎn)圍繞它旋轉(zhuǎn)，或是用它作為確定各點(diǎn)位置的標(biāo)準(zhǔn)：轉(zhuǎn)動(dòng)～；坐標(biāo)～…

[…形聲：一種造字法…是說(shuō)字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關(guān)，聲旁和全字的讀音有關(guān)。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…]

…數(shù)軸（百度百科）：數(shù)軸，為一種幾何圖形。

直線是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)，也有無(wú)數(shù)個(gè)。正因?yàn)樗鼈兊倪@個(gè)共性，所以用直線上無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)來(lái)表示實(shí)數(shù)。這時(shí)就用一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線來(lái)表示實(shí)數(shù)。

規(guī)定右邊為正方向時(shí)，在這條直線上的兩個(gè)數(shù)，右邊上點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊上點(diǎn)表示的數(shù)，正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)…

“數(shù)字按大小順序排列，形成的軸…數(shù)字組成的軸…就是數(shù)軸?！敝袑W(xué)生說(shuō)。

“數(shù)字按大小順序整齊的排成一列、就好像有軸把它們串起來(lái)一樣，因此，把這種排列叫數(shù)軸?！绷硪晃恢袑W(xué)生說(shuō)。

…數(shù)軸（百度漢語(yǔ)）2：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線。數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)…

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“人們?cè)瓉?lái)認(rèn)為‘?dāng)?shù)軸是表示有理數(shù)的軸’、‘?dāng)?shù)軸就是有理數(shù)’、‘有理數(shù)按順序從小到大排列，形成了數(shù)軸’…”PPT作者說(shuō)，“發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)后，人們知道了：數(shù)軸由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)一起組成…”

“于是…出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：數(shù)軸是什么？”PPT作者接著說(shuō)，“原來(lái)，人們認(rèn)為，數(shù)軸是有理數(shù)…‘?dāng)?shù)軸由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成’，這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)被發(fā)現(xiàn)后，人們得到了一個(gè)詭異結(jié)論：數(shù)軸是有理數(shù)、無(wú)理數(shù)?！?/p>

“這句話有很多不同的表述：有理數(shù)、無(wú)理數(shù)是數(shù)軸；有理數(shù)是數(shù)軸，無(wú)理數(shù)也是數(shù)軸；數(shù)軸既是無(wú)理數(shù)，又是有理數(shù)；…”PPT作者繼續(xù)說(shuō)，“按這個(gè)邏輯推理下去，會(huì)得出‘無(wú)理數(shù)等于數(shù)軸等于有理數(shù)（無(wú)理數(shù)=數(shù)軸=有理數(shù)）’這個(gè)荒唐結(jié)論。”

…邏、輯、邏輯：見(jiàn)《歐幾里得5》…

…理：見(jiàn)《歐幾里得1》…

…推、推理：見(jiàn)《歐幾里得12》…

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“顯然，‘無(wú)理數(shù)=數(shù)軸=有理數(shù)’不符合事實(shí)（不符合數(shù)學(xué)事實(shí)）。”PPT作者最后說(shuō)。

…事、實(shí)、事實(shí)：見(jiàn)《歐幾里得6、7》…

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“集：會(huì)意字。早期的“集”字有多種寫法，商代甲骨文（圖1、2）和商代金文（圖3、5）都是鳥(niǎo)在樹(shù)上的象形。簡(jiǎn)體字形作一只鳥(niǎo)（“隹”）在樹(shù)（“木”）上。

本義：鳥(niǎo)成群聚集在樹(shù)上。

請(qǐng)看下集《歐幾里得31、集、合、集合，下，定、義、定義，下定義》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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