數(shù)學(xué)的目的是并不是證明幾個孤立結(jié)論，而是探索未知的邏輯關(guān)系。就這層意義上說，Langlands 綱領(lǐng)或許是近幾十年來最重要的數(shù)學(xué)成果——即便它只是一些未經(jīng)證實的猜想。 Langlands 綱領(lǐng)源于 1967 年加拿大裔美國數(shù)學(xué)家 Robert Langlands 寫給著名法國數(shù)學(xué)家 André Weil 的一封信，在這封信中，他建立了表示論/自守形式與代數(shù)數(shù)論中 Galois 群的聯(lián)系。如今，由此生出的數(shù)學(xué)理論已經(jīng)涉及到數(shù)學(xué)的方方面面，甚至有幾何 Langlands 綱領(lǐng)涉及物理學(xué)中的規(guī)范場論。讓我們跟隨女數(shù)學(xué)家 Ana Caraiani 的腳步，一窺數(shù)學(xué)的大一統(tǒng)理論。

Ana Caraiani，站在帝國理工學(xué)院附近的Serpentine橋上，從事數(shù)學(xué)研究，為該領(lǐng)域里遙遠的分支架起橋梁。圖片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine

采訪者 | Steve Nadis

受訪人 | Ana Caraiani（帝國理工學(xué)院教授）

翻譯 | 張和持

Ana Caraiani 在普林斯頓大學(xué)的本科畢業(yè)論文由安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles） 指導(dǎo)。懷爾斯是一位著名數(shù)學(xué)家，1994年，就是他證明了 費馬大定理。這位名聲在外的學(xué)者交給學(xué)生的問題自然困難重重，而 Caraiani 并沒有她導(dǎo)師當年的運氣。不過，雖然并沒有取得顯著的進展，她也不曾氣餒。

Caraiani說，"這個題目的重點不一定是解決這個問題。我認為懷爾斯在教我，不應(yīng)該把所有的時間都花在你知道如何做的事情上。那些真正困難的問題值得花時間去解決，只是可能真的太難了?！?/p>

在做畢業(yè)論文的過程中，她學(xué)到了很多數(shù)學(xué)研究的方法?！澳悴豢赡芸偸前床烤桶嗟刈鰯?shù)學(xué)。如果你卡在了問題的某個部分，就先別管它，去做其他部分?！?Caraiani后來進行了非常廣泛的合作研究，目的是將數(shù)學(xué)的各個不同領(lǐng)域聯(lián)系在一起，而做畢業(yè)論文的經(jīng)驗讓她受益匪淺。她所從事的研究被稱為 Langlands 綱領(lǐng)，由加拿大數(shù)學(xué)家Robert Langlands于上世紀 60 年代建立。這是當今數(shù)學(xué)界最為龐大，最富野心，同時也是最具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

Caraiani 現(xiàn)在擔任倫敦帝國理工學(xué)院教授，同時獲得了皇家學(xué)會大學(xué)研究獎學(xué)金（URF）。她從來都不回避任何挑戰(zhàn)。在羅馬尼亞首都布加勒斯特長大的她，經(jīng)常會遭遇與她自身能力無關(guān)的挫折。2001年，作為一名高中生，她成為數(shù)十年來第一個有資格參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（IMO）的羅馬尼亞女性，并在當年摘得一枚銀牌，此后兩年又連續(xù)摘得金牌。不過盡管獲得了如此成功，她仍然感覺自己是不受歡迎的，也很少得到鼓勵。

“有些人，包括舉辦大賽數(shù)學(xué)老師們，都讓我不要抱太大期望，”她說。“而我想要證明他們都錯了。”

Caraiani 對Quanta雜志講述了她追求數(shù)學(xué)的經(jīng)歷以及研究 Langlands 綱領(lǐng)的工作，而后者可以理解為“通向數(shù)學(xué)大一統(tǒng)理論之路”。為了讓文章更加清晰，我們對采訪內(nèi)容進行了壓縮與編輯。

Caraiani 致力于當今最雄心勃勃的數(shù)學(xué)項目之一，即Langlands計劃。這是一項高度協(xié)作的努力，她經(jīng)常與帝國理工學(xué)院的同事在Dalby Court會面。圖片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine

你闖進男性主導(dǎo)的 IMO 之后，情況有沒有發(fā)生轉(zhuǎn)變？

當時我在高中從來不被人看好，而如今學(xué)校的女生會得到很多鼓勵。不過即便如此，我還是看到自己身邊的人遭受隱晦的歧視。如果別人都視你為異類，那么要開展研究或是建立長期合作關(guān)系就會困難重重。而且你很難被認真對待，每次都必須得證明自己的能力。

我意識到，其實相比大多數(shù)同行，我一直很幸運，現(xiàn)在也已是小有名氣。不過我還是覺得，數(shù)學(xué)界并不像它應(yīng)有的那么包容——不僅僅是對于女性，對其他弱勢群體也是一樣的。在我研究的領(lǐng)域中更是這樣，Langlands 綱領(lǐng)的研究需要大量專業(yè)知識，就連入門也存在巨大的障礙。

我只能盡自己所能幫助他人，一起探索這一驚人的領(lǐng)域，不過我覺得還是不夠。我努力為女性，以及其他弱勢群體提供生存空間，爭取會議席位，讓她們參加我的研究小組。我很高興自己的研究小組中女性占比高于平均水平。

是什么吸引你來到這個驚人領(lǐng)域的？

我2007年從普林斯頓大學(xué)畢業(yè)，那時懷爾斯鼓勵我去哈佛大學(xué)深造，那樣我可以跟 Richard Taylor學(xué)習(xí)——他對費馬大定理的證明做出了關(guān)鍵貢獻。而我之所以做 Langlands 綱領(lǐng)正是隨的他。

不過對于我來說，還有更深層次的吸引力。Langlands 綱領(lǐng)是要旨，從本質(zhì)上說是給數(shù)學(xué)的不同分支建立聯(lián)系。而我喜歡數(shù)學(xué)的所有分支——數(shù)論、分析、幾何、拓撲等——如果我做 Langlands 綱領(lǐng)的話，就不必將自己的研究限制在任何分支中。如果我們遇到還不會證的猜想，就可以嘗試聯(lián)系其他數(shù)學(xué)分支，用其他相關(guān)工具，就有可能取得進展。

在你的事業(yè)中，所謂“進展”是什么意思呢？

我和同事們所做的工作，就是在不同數(shù)學(xué)分支間搭起橋梁——具體來說，橋的一邊是Galois 群與Galois表示，另一邊是模形式與其推廣。

我們從Galois群說起。比方說 x2-3=0這個多項式方程，它的解，或者說根，是

和

。顯然，這兩個數(shù)字是關(guān)于y軸對稱的。所謂Galois群并不是多項式方程根的群，而是根的對稱群。

而如果考慮次數(shù)為5的多項式（次數(shù)指最高次項次數(shù)，比如x5或y5），這時方程就變得非常復(fù)雜，其 Galois 群也變得復(fù)雜。Galois表示可以用來簡化問題，這時我們就不必研究整個Galois群，只需要觀察它的某些部分，或者說截面。就像是取3維物體的2維截面一樣；雖然截面并不包含所有原始信息，但很多時候也夠用了。

那橋的另一邊呢？

模形式是一種高度對稱，定義在上半復(fù)平面上的函數(shù)，其中我們用x軸代表實數(shù)，y軸代表虛數(shù)（也就是

的倍數(shù)）。我們只考慮性質(zhì)“良好”或者說光滑的函數(shù)，也就是指函數(shù)不會跳躍，也沒有尖突。也可以說函數(shù)是可導(dǎo)的。

我們可以把上半復(fù)平面分成小區(qū)域，或者說“瓦片”。而由于對稱性，我們只需要知道其中一個瓦片上的函數(shù)值，就可以知道所有值。接著，我們可以取無窮多個瓦片，并把相鄰的粘在一起，這樣就產(chǎn)生了一個曲面，我們稱為模曲線。

即便這些都是完全不同的概念，也能通過 Langlands 綱領(lǐng)來說明他們的等價性？

沒錯，連接模形式（屬于分析）與Galois 表示（屬于數(shù)論與算數(shù)幾何）的橋梁，最初建立于上世紀 70 年代，從那時開始，研究人員就一直在加固這座橋。

在Langlands對應(yīng)中，我覺得最神奇的莫過于：你可以用完全不同的方法，分別在模形式和Galois兩邊得到同樣一串數(shù)字。你要做的，基本上就是把模形式——也就是那些高度對稱的函數(shù)——分解為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。這樣你就能得到三角函數(shù)的系數(shù)。而對于Galois這邊，你只需要數(shù)一下多項式方程的根的個數(shù)。

能在實際計算中觀察到這種現(xiàn)象，即便對我來說，也非常震驚。因為要真正建立這樣的聯(lián)系，得用到比這多得多的數(shù)學(xué)對象。

“我和同事們所做的工作，就是在不同數(shù)學(xué)分支間搭起橋梁?！眻D片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine

來回的兩個方向需要不同的橋嗎？

的確是這樣。第一座橋是單向通道。如果你想從 Galois表示這邊開始，往模形式那邊走，就可以使用Taylor-Wiles方法，這個方法最早是用來證明費馬大定理的。現(xiàn)在我們已經(jīng)能雙向行走了。

為什么要這樣大費周章？通過這些橋梁還能讓你們做些什么？

建立這些關(guān)系，展示不同數(shù)學(xué)之間的共同點，能帶來智力方面的滿足。當然，它也是有實用價值的。對于某些數(shù)學(xué)問題來說，在橋的一邊會比另外一邊更容易解決。面對一個很難的數(shù)學(xué)問題，我們經(jīng)常需要在其中一邊做一些研究，然后再到另一邊做更多工作。為了證明某些命題，你可能需要來回過橋，這樣你就必須得能在兩個方向上自由穿行。

在這個領(lǐng)域中，一個重要的目標是要在更一般的條件下造橋。這樣我們就能讓Langlands 綱領(lǐng)的研究范圍不斷擴張。

在造橋過程中，你做出了什么貢獻呢？

數(shù)學(xué)家們已經(jīng)意識到Taylor-Wiles方法對局限性：它針對2維情況效果良好，但在3維就失效了。2012年，F(xiàn)rank Calegari和David Geraghty想到了一個改進方法，以適用 3 維情況。然而他們表示，要讓這個方法起作用，首先得解決他們提出的三個猜想。

我的同事Peter Scholze在2013年解決了第一個猜想；這個猜想建立了第一座橋——從模形式到Galois，這座橋遠比原來的2維情況要寬的多，這樣才能與3維情況下出現(xiàn)的新現(xiàn)象相容。

在2015年年底，Sholze 和我意識到，我們最近的工作可以用來解決第二個猜想，要是這個猜想得到證實，就能精確控制這座橋著陸的位置。雖然這個方法失敗了，但是我們又想出了很有希望的新方法。這時，Taylor建議我們在普林斯頓高等研究院（IAS）組織一場研討會來完善我們的工作，想辦法解決第二個猜想。

編輯切換為居中

雖然Caraiani不認為Langlands綱領(lǐng)最終能解釋數(shù)學(xué)中的一切，但她覺得有一天它可能會連接起數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域丨圖片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine

為什么要跟讓別人來參與這項工作，而不是自己解決第二個猜想？

整個證明過程從幾何跨越到數(shù)論。Sholze 和我做的是幾何部分，但我們認為自己并不是數(shù)論方面最好的人選。我們覺得尋求合作能讓項目進展得更快。

結(jié)果如何呢？

我們已經(jīng)解決了第二個猜想這個目標，并且找到了一個方法來繞過第三個猜想。我們建起了反方向的橋——由Galois到模形式的3維情況。這讓我們成功越過了Taylor-Wiles方法失效的障礙。而且這座橋不單單是對3維，對任意維也是有效的。論文已經(jīng)在 2018 年圣誕節(jié)那天掛到網(wǎng)上，現(xiàn)在正在接受期刊的審校。

現(xiàn)在你又在做什么研究呢？

我們對Calegari和Geraghty的第二個猜想，只在兩種特殊情況下做出了證明?，F(xiàn)在我正在與之前 10 位合著者之一的James Newton合作，想辦法在最一般的條件下證明這個猜想。

我還是對第三個猜想很感興趣，即便我們之前繞過了它。它預(yù)測了志村簇（Shimura varieties）的某些性質(zhì)，而我對此興趣濃厚，希望今后能對它有更深的了解。

另外，還存在某些情況，我們對于如何造橋一無所知。在我們的領(lǐng)域中一個重大的目標就是在盡可能一般的條件下造橋，比如使用任意數(shù)系上的多項式。這樣我們就能擴展 Langlands 綱領(lǐng)的研究范圍。

這種統(tǒng)一最終能走多遠？

我并不認為Langlands理論有一天能解釋所有數(shù)學(xué)，不過我還是認為，它起碼能觸及數(shù)學(xué)的所有方面。

Robert Langlands的確高瞻遠矚。他在幾十年前建立了一整個網(wǎng)絡(luò)的猜想，而這個領(lǐng)域的范圍也逐步擴大。我們跨過的橋越多，能提出的新猜想，能前往的新目的地也更多。似乎這些取得的進展，都是為了讓我們看到前方更為廣闊的天地。我并不認為任何人會期待這個綱領(lǐng)走向終結(jié)。

本文譯自 The Mathematician Who Delights in Building Bridges，原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/ana-caraiani-delights-in-building-mathematical-bridges-20211117/