本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻譯：野呂侯奈因
僅供學(xué)習(xí)交流使用
譯者按：
?????? 本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機會來推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

1.7. 拋物線的奇妙性質(zhì)

在本節(jié)中出現(xiàn)的指代的都是拋物線的焦點．

?????? 讓我們從一個將會不止一次地用到的引理說起．

引理1.1. 拋物線的焦點關(guān)于一切線的對稱點會落在準(zhǔn)線上，準(zhǔn)確地說是切點在準(zhǔn)線上的投影（圖1.24）．

證明.?設(shè)直線切拋物線于點且為在準(zhǔn)線上的投影．由于為等腰三角形而為的角平分線，有為該三角形的對稱軸．故有在上的對稱軸落在準(zhǔn)線上．

推論. 拋物線的焦點在其切線上的投影會落在該拋物線在其頂點處的切線上．（圖1.25）

引理1.2. 設(shè)拋物線在點和處的切線交于，則有為的外接圓圓心，其中和分別為和在準(zhǔn)線上的投影．

證明. 由引理1.1，兩切線分別為和的中垂線．那么其交點自然為的外接圓圓心．（圖1.26）

推論. 若拋物線在點和處的切線交于，則有在準(zhǔn)線上的投影平分和在準(zhǔn)線上的投影所連線段．（圖1.27）

???????下述定理與定理1.2和1.5很相似，只不過將橢圓換成了拋物線．我們要回答這個問題：關(guān)于一拋物線的視角為直角的點的集合長什么樣子．

定理1.7. 關(guān)于一拋物線的視角為直角的點的集合即為拋物線的準(zhǔn)線．更進一步，若與都與拋物線相切，則有過，且為的高（圖1.28）．

證明. 若落在準(zhǔn)線上，而設(shè)和分別為和在準(zhǔn)線上的投影．那么自然有（由其關(guān)于的對稱性）．故有，同理，有．那么就有．而顯然這是滿足此條件的唯一點．

???????由于對于其他的圓錐曲線也有類似的結(jié)論，所以上述定理看起來還是比較自然的（譯者注：見本書1.4(CV25716024)）．但此定理的開頭部分卻有著意料之外地只屬于拋物線的推論，且將會被運用到3.2中弗雷吉爾定理(Frégier's theorem)的證明中．

定理1.8. 關(guān)于拋物線的視角為或的所有點的集合為一條以為焦點，為準(zhǔn)線的雙曲線（圖1.29）

證明. 首先，設(shè)由向拋物線引兩切線和夾角為．姑且先來考慮的情況．

???????設(shè)與分別為和分別為和在準(zhǔn)線上的投影．那么顯然有（譯者注：由引理1.1，有，，故有四點共圓，如此該結(jié)論便是顯然的了）．而由引理1.2，有為的外接圓圓心，故有．

?????? 因此到準(zhǔn)線的距離為且有落在一條焦點和準(zhǔn)線與拋物線重合的雙曲線上，而其離心率等于（即其兩漸近線的夾角等于）．

?????? 而當(dāng)兩切線夾角為時上述過程仍然成立．進一步地說，當(dāng)一條拋物線落在兩切線所夾的銳角之內(nèi)時，位于距所在支“更遠”的雙曲線支上；而當(dāng)拋物線落在兩切線所夾的鈍角之內(nèi)時，則位于距所在支“更近”的雙曲線支上．

（譯者注：對于成銳角的情況其直觀形式則如圖o所示．）