在對有理分式函數(shù)求不定積分之前，通常都要對分式進行分解。因為目前比較常用的分式不定積分公式，只有分母是一次整式的冪，或二次整式的冪兩種形式的真分式的不定積分公式。因此我們要把那些分母在三次以上的分式，分解成一系列符合上面兩種形式的真分式的和。這就是對分式裂項分解的一個過程。或稱為部分分式分解。

為此，我們要先明確有理函數(shù)的概念：由兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù)，其一般形式為：

R(x)=(P(x))/(Q(x))=(α0 x^n+α1 x^(n-1)+…+αn)/(β0 x^m+β1 x^(m-1)+…+βm)，

其中n,m∈N，α0,α1,…αn與β0,β1,…βm都是常數(shù)，且α0β0≠0.

即分子是一個n次多項式P(x)，分母是一個m次多項式Q(x)，構(gòu)成的函數(shù)，就是有理函數(shù)R(x)。如果m>n，即分母的次數(shù)更高，就稱它為真分式，如果m<=n，即分母的次數(shù)不高于分子，就稱為假分式。這兩個概念可以類比真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。

因此，和分?jǐn)?shù)類似的，假分式可化為整式與真分式的和。所以我們在進行分式部分分解時，如果原分式是假分式，就要先把這個假分式化為整式與一個真分式的和。因為我們主要關(guān)注的是那些最簡的真分式。即無法繼續(xù)約分的真分式。真分式表示為若干個部分分式之和，這個過程就稱為部分分式分解。

下面我們來了解一下真分式部分分式分解的一般步驟：

第一步：對分母Q(x)在實系數(shù)內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：(分解前先化β0=1)

Q(x)=(x-a1)^λ1*(x-a2)^λ2…(x-as)^λs)(x^2+p1x+q1)^μ1…(x^2+pt x+qt)^μt，

其中λi,μj(i=1,2,…,s；j=1,2,…,t)均為自然數(shù)，【即s個一次整式的冪積，乘以t個二次整式的冪積。不過并不是所有整式，都可以分解成這樣的形式的。如果分解不了，就不屬于這里討論的范圍】

而且∑(i=1->s)λi+2∑(j=1->t)μj=m;【只有最高次數(shù)保持不變，才能保證分解之后結(jié)果恒等】

pj^2-4qj<0, j=1,2,…,t.【即每一個二次整式因式都無法繼續(xù)分解】

第二步：根據(jù)分母各因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式：

(1)對每個形如(x-a)k的因式，對應(yīng)的部分分式是：

A1/(x-a)+A2/(x-a)^2 +…+Ak/(x-a)^k.

(2)形如(x2+px+q)k的因式，對應(yīng)：

(B1x+C1)/(x^2+px+q)+(B2 x+C2)/(x^2+px+q)^2 +…+(Bkx+Ck)/(x^2+px+q)^k .

第三步：運用待定系數(shù)法確定系數(shù).

下面看一道例題：對R(x)=(2x^4-x^3+4x^2+9x-10)/(x^5+x^4-5x^3-2x^2-4x-8)作部分分式分解.

解：Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8=(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1),

R(x)=A0/(x-2)+A1/(x+2)+A2/(x+2)^2+(Bx+C)/(x^2-x+1). 【通分相加之后，分子恒等】

P(x)≡A0(x+2)^2(x^2-x+1)+A1(x-2)(x+2)(x^2-x+1)+A2(x-2)(x^2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)^2

=(A0+A1+B)x^4+(3A0-A1+A2+2B+C)x^3+(A0-3A1-3A2-4B+2C)x^2+(4A1+3A2-8B-4C)x+4A0-4A1-2A2-8C.

根據(jù)分子恒等，列方程組{A0+A1+B=2；3A0-A1+A2+2B+C=-1；A0-3A1-3A2-4B+2C=-1；4A0+3A1-8B-4C=9；4A0-4A1-2A2-8C=-10.

解得：(A0=1; A1=2; A2=-1; B=-1; C=1.

∴R(x)=1/(x-2)+2/(x+2)-1/(x+2)^2-(x-1)/(x^2-x+1).

有時在通分得到分子恒等式之后，可以利用特值法來解決，往往都會比較簡便，但不是一定會簡便的。具體的方法如下圖：

通過這個分解之后，我們就可以求原函數(shù)的不定積分了。老黃會在接下來的作品中，繼續(xù)給大家分析如何求它的不定積分。