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利用向量的投影解題（2017課標(biāo)Ⅱ圓錐曲線）

2022-08-16 14:15 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2017課標(biāo)Ⅱ，20）設(shè) $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn) $M$ 在橢圓 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2By%5E2%3D1$ 上，過 $M$ 作 $x$ 軸的垂線，垂足為 $N$ ，點(diǎn) $P$ 滿足 $%5Coverrightarrow%7BNP%7D%3D%5Csqrt%7B2%7D%5Coverrightarrow%7BNM%7D$ .

（1）求點(diǎn) $P$ 的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn) $Q$ 在直線 $x%3D-3$ 上，且 $%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPQ%7D%3D1$ ，證明：過點(diǎn) $P$ 且垂直于直線 $OQ$ 的直線 $l$ 過 $C$ 的左焦點(diǎn) $F$ .

解：（1）設(shè)點(diǎn) $N$ 、 $P$ 、 $M$ 的坐標(biāo)分別為

$%5Cleft(%20x_0%2C0%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ 、

由題可知 $%5Cleft(%20x-x_0%2Cy%20%5Cright)%20%3D%5Csqrt%7B2%7D%5Cleft(%200%2Cy_0%20%5Cright)%20$ ，

即 $%5Cleft(%20x-x_0%2Cy%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%200%2C%5Csqrt%7B2%7Dy_0%20%5Cright)%20$ ，

所以 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x-x_0%3D0%2C%5C%5C%09y%3D%5Csqrt%7B2%7Dy_0%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

所以 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x_0%3Dx%2C%5C%5C%09y_0%3D%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=M" alt="M">在橢圓 $C$ 上，

所以 $%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B2%7D%2By_0%5E2%3D1$ ，

所以 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%5Cright)%20%5E2%3D1$ ，

化簡得 $x%5E2%2By%5E2%3D2$ ，

此即點(diǎn) $P$ 之軌跡方程.

（2）先畫圖

設(shè)直線 $l$ 與直線 $OQ$ 交于點(diǎn) $H$ ，與 $x$ 軸交于點(diǎn) $G$ ，直線 $x%3D-3$ 與 $x$ 軸交于點(diǎn) $T$ ，則

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPQ%7D%26%3D%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Coverrightarrow%7BOQ%7D-%5Coverrightarrow%7BOP%7D%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BOQ%7D-%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5E2%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C-%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%5E2%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C-2%3D1%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C%3D3$ .

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cbigtriangleup%20OGH%5Ctext%7B%E2%88%BD%7D%5Cbigtriangleup%20OQT" alt="%5Cbigtriangleup%20OGH%5Ctext%7B%E2%88%BD%7D%5Cbigtriangleup%20OQT">，

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OG%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OT%20%5Cright%7C%7D$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20OG%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OT%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%3D1$ ，