想要推導(dǎo)高維球的體積公式，我們不如先從低維出發(fā)，以尋找推導(dǎo)體積公式的規(guī)律 普遍的，我們都知道二維平面圓的面積公式為： S=πr^2 我們提出疑問，那么這個(gè)公式到底是怎么來的呢？ 或許，我們可以從圓的周長公式： l=2πr 來從一維的線段長度推導(dǎo)二維的面積 如圖

若我們要求得整體圓的面積，那我們可以將黑圓環(huán)，藍(lán)圓環(huán)，紅圓環(huán)等等的面積進(jìn)行相加 可是，這離我們要的一維的“線”還是相差甚遠(yuǎn)，但我們?nèi)绻粩嘣黾訄A環(huán)的數(shù)量，將這個(gè)圓分成1000個(gè)，10000個(gè)甚至無限個(gè)圓環(huán)的面積進(jìn)行相加，那每個(gè)圓環(huán)的面積，就可以近似成一條線段的長度

藍(lán)色線段為每個(gè)圓環(huán)的內(nèi)部半徑△r，當(dāng)圓環(huán)數(shù)量趨近于無限時(shí)，其△r=0 接著，我們將每段“小圓環(huán)”(線)從內(nèi)部剪開，展開成一個(gè)個(gè)“小梯形”而其“小梯形”可以近似看成“小矩形”，他的長就是圓環(huán)的長度，寬為0 接下來，我們把這一個(gè)個(gè)“小矩形”依次從小到大排列出來

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每個(gè)“小矩形”依次排列后，整體成為了一個(gè)三角形，而且三角形的高也就等于最長的“小矩形，而那個(gè)最長的“小矩形”也就是之前長度最長的圓環(huán) 這個(gè)圓環(huán)的長度也就是圓的周長 2πr 而這個(gè)三角形的底也就是所有“小矩形“(圓環(huán))的內(nèi)徑相加 其長度也就是圓的半徑 r 容易看出，這個(gè)三角形的面積也就是2πr*r/2 πr^2 因?yàn)槿切蔚拿娣e也就是所有圓環(huán)相加的面積 所以三角形的面積也就等價(jià)與圓的面積 至此，我們就從一維的線，推導(dǎo)出了二維圓的體積 現(xiàn)在，我們不妨由二維圓來推導(dǎo)三維球的體積公式 便于計(jì)算，這里我們先推導(dǎo)出三維單位球的體積 想象一下，你的面前有一個(gè)充滿水的水缸，你的視線恰好與水面一致，如果現(xiàn)在有一個(gè)球緩慢落入水中，那么你在水面將會(huì)看到球的橫截面積在不斷變化，當(dāng)球浸沒至一半時(shí)，在水面映射出的橫截面積也就最大 整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，我們將會(huì)看到其橫截面積先由小變大，當(dāng)運(yùn)動(dòng)但一半時(shí)最大，然后由大變小，直到消失 那我們?nèi)绻馨堰@所有的橫截面積全部相加，我們也就能夠推出球的體積了！ 這里，我們考慮半個(gè)周期 如圖

這里選用當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間正好到半個(gè)周期時(shí)的橫截圓 因?yàn)槲覀兛紤]單位球，所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)至半個(gè)周期時(shí)他的橫截圓是單位圓 也就是OA=1，我們令OB=x.AB=y 那么有關(guān)系式： x^2+y^2=1 x=√(1-y^2) 當(dāng)x變化時(shí)，我們可以理解為半徑為x的圓的面積變化 這樣我們就模擬出半個(gè)周期內(nèi)橫截圓面積的變化了 由關(guān)系式可得 S橫截圓=π-π(y^2) 定義一新函數(shù)f(x)使得： f(x)=-π(y^2)+π 容易看出，這個(gè)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，且他與y軸交點(diǎn)為π 那么我們只需要求出當(dāng)y從0到1，其所有的S橫截圓相加結(jié)果即可

也就等價(jià)于求如圖紅色區(qū)域的面積 那么面積該如何求呢？我們或許可以用無數(shù)個(gè)“小矩形”近似，就像是用一維“線”求二維“面積”一樣，如果我們把這無數(shù)個(gè)“小矩形”的長度(面積)相加，那么紅色區(qū)域的面積自然就浮出水面了

不多廢話，積分 S曲線=∫(from0to1) -π(y^2)+π dy =(-πy^3/3)-πy 令y=0和1，作差 =2π/3

這樣我們就知道了，在這半個(gè)周期所有橫截圓的面積之和為2π/3 相應(yīng)的，整個(gè)周期也就是單位球的體積就是： V=2*2π/3 V=4π/3 終于來到了本專欄的重中之重，經(jīng)過了上面的推導(dǎo)，相信你對這種低維長度(面積)轉(zhuǎn)為為高維面積(體積)的方法已經(jīng)掌握，那么我們現(xiàn)在就來推導(dǎo)單位四維超球的超體積(下文皆簡稱為V超) 想象我們面前有個(gè)裝滿水的水缸，不同的是，這次是一個(gè)四維的超球慢慢浸入水中，而我們在水面則能觀察到 憑空冒出一個(gè)球，緩慢增大直到運(yùn)動(dòng)至半個(gè)周期時(shí)緩慢減小，直到消失 這里我們同樣只考慮半個(gè)周期

(沒錯(cuò)這還是上文那張圖) 我們知道，四維超球往返于三維平面，相當(dāng)于三維求往返于二維平面，這兩種運(yùn)動(dòng)方式本質(zhì)是等價(jià)的 所以，我們采用利用三維算四維的方法 關(guān)系式： x=√(1-y^2) 三維球體積公式： V=(4πr^3)/3 令r=x V橫截球=[4π(1-y^2)^(1.5)]/3 令一新函數(shù)Z(y)使得 Z(y)=[4π(1-y^2)^(1.5)]/3

不多廢話，積分 V超=2∫(from0to1)[4π(1-y^2)^(1.5)]/3 dy V超≈4.9348

至此，我們就算出來了單位超球的超體積 我們發(fā)現(xiàn)V超≈4.9348 而(π^2)/2≈4.9348 所以，根據(jù)二維，三維公式的經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo) 我們猜測： V超=[(π^2)(r^4)]/2

經(jīng)各種事實(shí)證明，這確實(shí)就是四維超球的超體積公式 至此，我們終于成功完成的最初的目標(biāo)：推導(dǎo)四維超球超體積公式！ END… 構(gòu)思和計(jì)算在2022.12.11其實(shí)就已經(jīng)結(jié)束了 很抱歉鴿了這么長時(shí)間… 本專欄證明不嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容不清晰，還請包容 如有錯(cuò)誤，謹(jǐn)請各位讀者斧正 以下是我的初始構(gòu)思和手稿：

END！ 2023.4.5