之前我們說到了普通魚結(jié)構(gòu)，不過實(shí)際上我們并不可能經(jīng)常出現(xiàn)類似于之前這樣，剛好數(shù)字出現(xiàn)于幾行幾列的情況，有時(shí)候還是有點(diǎn)瑕疵的，所以我們現(xiàn)在就來探討一下，如果魚出現(xiàn)了瑕疵，又到底怎么用？

Part 1 帶魚鰭的二階魚（Finned X-Wing）

如圖所示，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于c67來說，能夠填入7的位置，只有五個(gè)單元格：r1c6和r24c67。其中，我們當(dāng)r1c6不存在，那么剩余結(jié)構(gòu)是什么？那肯定是我們最為完美的二階魚。但是r1c6的存在，使得現(xiàn)在不能完美地運(yùn)用了。但是，我們可以這么去想：

• 當(dāng)r1c6 = 7時(shí)：r1c6的相關(guān)格都不可以填7，因?yàn)榈蚕嚓P(guān)格的其一填入7，都會(huì)和r1c6它們共同所在的區(qū)域下出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字；

• 當(dāng)r1c6 <> 7時(shí)：二鏈列結(jié)構(gòu)形成，所以刪數(shù)應(yīng)為r24c1234589。

只可能有上述兩種情況的出現(xiàn)，但我們可以發(fā)現(xiàn)到的是，兩種情況下，都可以刪除掉r2c45(7)，所以，r2c45 <> 7。

這些瑕疵在魚里稱為魚鰭（簡(jiǎn)稱鰭，Fin），其中的r1c6(7)，我們就稱為鰭。表示長(zhǎng)在魚身上，又要影響推導(dǎo)結(jié)果的候選數(shù)。

注意，英文名“鰭魚（Finned Fish）”之中的“鰭”含義為“帶鰭的（Finned）”，所以采用分詞性形容詞形式。

還有需要注意的地方是，當(dāng)魚鰭成立的時(shí)候，只需要討論它能刪除的位置，即它的相關(guān)格的數(shù)字，此時(shí)并不會(huì)去關(guān)注整體魚身到底發(fā)生了如何的變化，因?yàn)樽罱K的刪數(shù)是看刪除域和相關(guān)格的交集。

那么，如何能快速觀察和推斷到刪數(shù)情況呢？你可以發(fā)現(xiàn)，r1c6的相關(guān)格組涉及三個(gè)區(qū)域：r1、c6、b2。r1和c6下，都不會(huì)和它不存在所形成的二鏈列的刪除的單元格有任何的交集，而只有b2才有交集。所以，鰭和剩余魚結(jié)構(gòu)（即魚身）的刪數(shù)交集只能是宮內(nèi)。

那么，鰭可以在一個(gè)技巧下存在幾個(gè)呢？因?yàn)閯h除交集只能是宮內(nèi)，所以最多也只能有2個(gè)。接下來我們來看一個(gè)有兩個(gè)魚鰭的例子。

如圖所示，此時(shí)影響二階魚成立的一共有兩個(gè)候選數(shù)：r89c7(3)，所以我們靈活處理這兩個(gè)候選數(shù)，我們將r89c7(3)看作是一個(gè)區(qū)塊。假設(shè)r89c7(3)兩處都不填，或者是r89c7(3)里至少一處要填這樣兩種情況。

初學(xué)這里，我們來思考一下，為什么討論的時(shí)候只分上述兩種情況。如果r89c7兩處都不填3，就好比這兩個(gè)單元格“有0格填3”；而與之相反的情況則只可能是“至少1格填3”。這兩種情況即所謂的數(shù)學(xué)表達(dá)“= 0”和“> 0”（此時(shí)我們不需要討論“< 0”的情況，因?yàn)轸~鰭的總個(gè)數(shù)是不可能為負(fù)數(shù)值的）。

• 當(dāng)r89c7都不是3：此時(shí)所有影響二階魚形成的位置都將不復(fù)存在，所以二鏈列此時(shí)成立，刪數(shù)則是刪除域上的3（當(dāng)然魚身所占的4格是不能刪除3的，這里說的是拋開這四個(gè)單元格的其它位置）；

• 當(dāng)r89c7里至少有一格填3：不論r8c7還是r9c7填3，它們形成列區(qū)塊形式，且它們同處于一個(gè)宮里，所以該宮里其余位置都不能填入3。

整合了兩大情況后，我們發(fā)現(xiàn)，此時(shí)不論哪種情況成立，r7c9(3)都是可以去掉的，所以r7c9(3)便成為了這個(gè)題目的刪數(shù)。

這個(gè)例子里，運(yùn)用了兩個(gè)魚鰭，也就是這里的r89c7(3)，不過這里，因?yàn)橛袃商庺~鰭，所以我們?yōu)榱撕?jiǎn)化分類討論的情況，我們將其合并歸并為一種情況來討論。

Part 2 帶魚鰭的三階魚（Finned Swordfish）

接下來我們來看一則三階的、帶魚鰭的普通魚結(jié)構(gòu)。

如圖所示。如果r1c6(7)不存在，那么r189作為定義域，數(shù)字7就會(huì)出現(xiàn)三階魚結(jié)構(gòu)，那么標(biāo)準(zhǔn)的刪數(shù)就在c348里產(chǎn)生了。不過，當(dāng)r1c6(7)的出現(xiàn)，使得我們不得不討論r1c6 = 7的情況。當(dāng)r1c6 = 7時(shí)，刪除的數(shù)字就只有它的相關(guān)格里的7了。

合并兩個(gè)情況，我們發(fā)現(xiàn)，它們都能刪除掉的只有r3c4(7)，所以r3c4 <> 7。

我們?cè)賮砜匆粍t示例，這則示例可不太好理解。

如圖所示，這個(gè)例子有些奇怪。如果r1c2 <> 5，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)例子和之前的例子都有所不同：魚身處于c1里只有r4c1一格了。按照普通魚的討論邏輯，為了保證要放3個(gè)5，r4c1此時(shí)必須填5（否則的話，結(jié)構(gòu)整體就只能放到r148c89這個(gè)矩形區(qū)域里，而這個(gè)3 * 2的區(qū)域里是怎么都放不下三個(gè)5的。）所以必須得讓r4c1 = 5。當(dāng)然，前提是r1c2 <> 5，即魚鰭不成立的時(shí)候，才有的結(jié)論。

那么我們此時(shí)就不必再去關(guān)注其余5的擺放位置了。因?yàn)槲覀冇懻摰膬蓚€(gè)核心情況已經(jīng)出來了：魚鰭不成立的時(shí)候，r4c1 = 5；魚鰭成立的時(shí)候，r1c2 = 5。所以完全只需要去看r1c2和r4c1都能刪除的地方，按照普通魚和魚鰭相關(guān)格的交集這一個(gè)層面來討論的話，刪除的僅有r23c1(5)。

好了，實(shí)際上這個(gè)題的刪數(shù)并不止這些。而且我們從邏輯里就已經(jīng)看出了端倪，只是在段落的描述里沒有點(diǎn)破這一點(diǎn)。那么還有哪里可以刪除呢？試試找一下吧。

另外，可以從描述里發(fā)現(xiàn)，如果魚鰭不存在的話，這個(gè)結(jié)構(gòu)實(shí)際上就降階變?yōu)槎A魚了（此時(shí)只需要看r18），所以這一點(diǎn)跟之前顯隱性互補(bǔ)的其中一則示例是一樣的，雖然是四數(shù)組，但我們可以降階變?yōu)槿龜?shù)組。不過，這則示例之所以客觀存在，還是因?yàn)檫@里的魚鰭是客觀存在的緣故，它使得結(jié)構(gòu)存在而不會(huì)被降階，畢竟魚鰭本身也單獨(dú)算作其中一種分析的情況來討論。

Part 3 帶魚鰭的四階魚（Finned Jellyfish）

我們先忽略r1c2(2)，看看在r1458上會(huì)發(fā)生什么神奇的事情。當(dāng)我們忽略r1c2(2)時(shí)，r1458所有的2構(gòu)成了四階魚結(jié)構(gòu)，因?yàn)樗?均出現(xiàn)在r1458c1357這個(gè)矩形里，沒有超出這個(gè)矩形，且這個(gè)矩形恰好是四行四列的，所以為了保證每一行都放下一個(gè)2，而且行列互不影響，所以必須在c1357上各放下一個(gè)2，才夠放下4個(gè)2，于是四階魚成立。

當(dāng)然，r1c2(2)是客觀存在的，所以假設(shè)當(dāng)r1c2 = 2的時(shí)候，只能刪除掉刪除域里r23c13(2)。所以，這便產(chǎn)生了刪數(shù)r23c13(2)。

Part 4 帶魚鰭的魚的互補(bǔ)

有沒有發(fā)現(xiàn)，在之前的示例里，依然沒有出現(xiàn)規(guī)格大于4的、帶魚鰭的普通魚結(jié)構(gòu)。難道鰭魚也擁有互補(bǔ)的情況？答案是，是的。不過，這一點(diǎn)的證明我們無法從現(xiàn)有的知識(shí)來得到，所以證明就不給出了，不過我們可以給出一個(gè)示例，讓你能明白這一點(diǎn)。

如左圖所示，可以看到它是一個(gè)很普通的三階鰭魚結(jié)構(gòu)，不過，我們依然按照之前的方式，將關(guān)注點(diǎn)變?yōu)榘咨膯卧?。只是，在轉(zhuǎn)變視角后，選取的定義域要從行變?yōu)榱?，而且魚鰭的位置依然不能發(fā)生任何改變。

確實(shí)，我們從白色的單元格里發(fā)現(xiàn)到了一處鰭魚結(jié)構(gòu)，此時(shí)鰭魚是四階的。不過需要你注意到的地方是，此時(shí)刪除域r4上，只有一處1可以填上去。推理過程里要保證每一個(gè)刪除域部分都得填入一個(gè)1才合適，所以此時(shí)r4的1僅能放置到r4c1上。這一點(diǎn)和之前講到的三階鰭魚的后面這一則示例很相似。不過，刪除的數(shù)字依然沒有發(fā)生變動(dòng)。

技巧信息

• 鰭二階魚：難度3.4。

• 鰭三階魚：難度4.0。

• 鰭四階魚：難度5.4。

其他更高階的魚可以互補(bǔ)成低階魚，所以難度不作分析。

名詞解釋

• 魚鰭（Fin）：表示影響推導(dǎo)的魚外部的一部分。當(dāng)魚鰭為假的時(shí)候，魚才會(huì)成立；所以刪除魚鰭所在行列宮，以及魚本身刪除域的交集。