例三：，求證：

證明：原不等式

記

這個(gè)式子非常麻煩，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=p" alt="p">同時(shí)出現(xiàn)在不等號(hào)的兩邊，難以放縮。但更加不幸的并不是這一點(diǎn)，我會(huì)在下文中說(shuō)明。

仿照前幾題的證明方法，設(shè)法消元得到一元函數(shù)后再進(jìn)行分類討論。

由

那么根據(jù)前幾題的經(jīng)驗(yàn)，我們只需知道使得上式恒成立的p的范圍

上式

上式對(duì)于恒成立，從而只需討論的情況

這里我試圖證明余下的情況時(shí)沒有動(dòng)用三次舒爾不等式，原因是解剛才的不等式時(shí)已動(dòng)用兩次均值消元，若想消p，會(huì)動(dòng)用兩次均值與一次三次舒爾不等式，只會(huì)放得更松。

于是我直接對(duì)進(jìn)行解二次不等式

其中，函數(shù)的極大值為36，極小值為9

從而其圖像與x軸僅有一個(gè)實(shí)交點(diǎn)，又

從而的唯一實(shí)根在之間，故知對(duì)

由知是恒成立的，

我們考慮使得恒成立的q

則

這說(shuō)明當(dāng)時(shí)原不等式成立

我們只需繼續(xù)證明當(dāng)時(shí)原不等式成立即可

其實(shí)當(dāng)有更小的范圍

我繼續(xù)逼出，并考慮使得恒成立的q

這里直接交給計(jì)算器，得

接下來(lái)只需證明當(dāng)時(shí)原不等式成立

可以看到，我們“成功”進(jìn)一步縮小了q的范圍，我斷定再進(jìn)行有限次重復(fù)的操作，能最終證明原不等式。

但是，真的有小可愛會(huì)這樣算下去嗎？

于是，這種思路pass，我們換一條路。

我們已經(jīng)充分感受到此題的不等式十分之緊，故而最好不要進(jìn)行放縮，在這里，我們證明一個(gè)引理。

引理：，若記，則

證明：令

那么，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，并在處取到極大值與極小值

因此，存在有三個(gè)實(shí)數(shù)根（記重根）

回到原題，我們的目標(biāo)是去證明當(dāng)

前文已經(jīng)做過(guò)相同的分析，只需證明

由引理知

只需證

這個(gè)不等式肯定是成立的，而且不需要分類討論

我們考慮函數(shù)

目標(biāo)證明0與3是相鄰的兩個(gè)根，從而利用其連續(xù)性說(shuō)明上式成立

我們令，并不斷化簡(jiǎn)，最終得到：

我們解四次方程

其，從而方程有兩個(gè)互異實(shí)根與一對(duì)共軛虛根

我們只考慮正實(shí)根，若記

則

取近似值得到

于是，的根為（有可能有增根，但0與3是原方程的根）

我們只考慮正實(shí)根，他們?yōu)?與

(1) 若是的增根，則0、3是相鄰的兩個(gè)根，又，故而在上，連續(xù)函數(shù)，原不等式得證！

(2)若是的根，分兩種情況討論

①若（即是一個(gè)極值點(diǎn)，且極值為0）：

首先上的連續(xù)函數(shù)

其中，即0是極值點(diǎn)，而0與是相鄰的兩個(gè)根

若0是極小值點(diǎn)，由知間有一根，矛盾！

若0是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，其與0一定不是相鄰的極大值與極小值點(diǎn)，從而0與之間一定存在另一個(gè)根，矛盾！

那么一定是極大值點(diǎn)

我們知道

由于上連續(xù)，從而

②若（即非極值點(diǎn)）：

先前已經(jīng)得到上有且僅有一根，且，則，矛盾！從而這種情況是不存在的

綜上，原不等式得證！

實(shí)際上，是在解方程過(guò)程中由于平方而得到的增根，從圖像上可以看出來(lái)：