題一、
已知x=2/(2+√3?√5)，y=2/(2+√3+√5)，
求S=?√((x?y?)/((x2+y2)2+4x2y2+4x3y+4xy3))

分析題目
解：(x+y)?=x?+y?+6x2y2+4x3y+4xy3

分析題目，所求代數(shù)式看起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜，但其實(shí)熟悉和的四次方展開(kāi)式的同學(xué)，會(huì)很快發(fā)現(xiàn)根式下的分母剛好就是一個(gè)和的四次方展開(kāi)式，合成后不就完美破題了，

據(jù)此我們來(lái)解題，首先考察二元和的四次方展開(kāi)式，即有，

(x+y)?先展開(kāi)一個(gè)二次項(xiàng)即得到

(x+y)?=(x2+2xy+y2)2，

繼續(xù)展開(kāi)平方后得到，

(x+y)?=x?+y?+6x2y2+4x3y+4xy3，

此時(shí)我們化簡(jiǎn)下所求的代數(shù)式，看下需要求解哪些代數(shù)式，即有，

S展開(kāi)分母的平方和的完全平方，即得到，

S=?√((x?y?)/(x?+y?+6x2y2+4x3y+4xy3))，

剛好分母就是我們展開(kāi)后的和的四次方，那我們等價(jià)替換回去，即得到，

S=?√(x?y?/(x+y)?)，

那顯然四次方和八次根號(hào)抵消掉四次，剩下一個(gè)二次根式，即得到

S=√|xy/(x+y)| ，也就是我們只需要求解xy/(x+y)的值即可，那我們倒轉(zhuǎn)分子分母看下，即得到，

(x+y)/(xy)，拆分分子后得到，

(x+y)/(xy)=1/x+1/y，

此時(shí)我們代入已知條件的X和Y的值，即得到，

(x+y)/(xy)=(2+√3?√5)/2+(2+√3+√5)/2，

同分母相加，分子相加即可，最后算得

(x+y)/(xy)=2+√3 ，

則所求的，

S=1/√(2+√3)，分母有理化后得到，S=√(2?√3)，為了湊完全平方，需要給交叉項(xiàng)√3補(bǔ)一個(gè)系數(shù)2，即得到，S=√(4?2√3)/2，很容易拆分4為3+1，從而湊出完全平方式，則分子分母都開(kāi)方出來(lái)，即得到

S=(√3?1)/√2，

最后分母有理化后得到，

S=(√6?√2)/2。

參考答案