一、集合

1、集合的概念：

把某些確定的對(duì)象看成是一個(gè)整體，這個(gè)整體就叫做集合，簡(jiǎn)稱集。通常用大寫字母A、B、C······表示。

2、元素的概念：

集合中每個(gè)確定的對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，集合中的每個(gè)元素都屬于這個(gè)集合，用“∈”表示。元素通常用小寫字母a、b、c······表示。

例如：a為集合A中一元素，則a與A的關(guān)系可以表示為a∈A等等。

3、集合的三個(gè)特性：

①確定性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，任何一個(gè)對(duì)象可能是這個(gè)集合中的元素，也可能不是這個(gè)集合中的元素，這是最基本的特性。

②互異性：集合中的任何兩個(gè)元素都是能區(qū)分的（即互不相同的），相同的對(duì)象歸入任何一個(gè)集合時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素。

③無(wú)序性：在一個(gè)集合中，通常不考慮它的元素之間的順序。

例如：集合{1，2，3}和集合{1、3、2}是相等的，即：{1，2，3}={1、3、2}等等。

4、常用數(shù)集：

①自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)）集：0、1、2、3········，記作N。

②正整數(shù)（正自然數(shù)）集：1、2、3··········，記作N*或N+。

③整數(shù)集：··············-2、-1、0、1、2··············，記作Z。

④有理數(shù)集：整數(shù)和分?jǐn)?shù)，記作Q。

⑤實(shí)數(shù)集：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，記作R。

5、集合的分類（按照元素個(gè)數(shù)分）：

①空集（0個(gè)）：不含任一元素的集合，記作?。

②有限集（有限個(gè)）：例如：集合{1，2，3}等等。

③無(wú)限集（無(wú)限個(gè)）：例如：集合N、Z、Q、R等等。

6、集合的表示方法：

①列舉法：當(dāng)集合中元素不多時(shí)，我們常常把集合的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示這個(gè)集合。

例如：集合{1，2，3，4}等等。

②性質(zhì)描述法：當(dāng)集合中元素較多時(shí)，使用列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)則會(huì)相對(duì)麻煩。給定x的取值集合q，如果屬于集合A的任一元素x都具有性質(zhì)p（x），而不屬于集合A的元素都不具有性質(zhì)p(x)，則性質(zhì)p（x）叫做集合A的特征性質(zhì)。集合A用其特征性質(zhì)p（x）可以描述為：{x∈q|p（x）}，它表示集合A是由集合q中具有性質(zhì)p（x）的所有元素所構(gòu)成的。

例如：集合{1，2，3}用性質(zhì)描述法可以表示為{x|1≤x＜4且x∈Z}等等。

7、子集：如果集合B中的元素都是集合A中的元素，那么我們把集合B叫做集合A的子集。用”?/?“表示。

例如：集合{1，2}的子集為：?、{1}、{2}、{1，2}，則有{1}?{1，2}等等。

相等集合：如果兩個(gè)集合中的元素分別相等，那么這兩個(gè)集合相等。它們的元素和與積也分別相等。即：A?B，B?A?A=B。

當(dāng)一個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù)為0、1、2、3········時(shí)，子集的個(gè)數(shù)分別有1、2、4、8········，通過(guò)觀察我們可以得出子集個(gè)數(shù)與集合元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系為：如果集合A有n個(gè)元素時(shí)，子集個(gè)數(shù)有2^n（n∈N）個(gè)。

在任何非空集合中，如果集合有n個(gè)元素時(shí)，子集有2^n（n∈N）個(gè)，那么，含m個(gè)元素的子集有2^n-2^（n-m）（m≤n且m、n∈N+）個(gè)【此公式可以理解為由（n個(gè)元素的集合的子集）減去（n個(gè)元素中除去m個(gè)元素的所有元素的子集）】

8、真子集：如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一個(gè)元素不屬于B，那么我們把集合B叫做集合A的真子集。用”?/?“或“?/?”表示。

例如：集合{1，2}的真子集為：?、{1}、{2}，則有{1}?{1，2}等等。

如果集合A有n個(gè)元素時(shí)，真子集個(gè)數(shù)有2^n-1（n∈N）個(gè)；非空真子集個(gè)數(shù)有2^n-2（n∈N）個(gè)。

9、交集：

（1）概念：一般地，對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、B，由既屬于A又屬于B的所有元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”。用性質(zhì)描述法可以表示成：A∩B={x|x∈A且x∈B}。

（2）性質(zhì)：

①A∩A=A

②A∩?=?

③A∩U=A（U為給定對(duì)象的全集）

④A∩B=B∩A

⑤A?B?A∩B=A

10、并集：

（1）概念：一般地，對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、B，由所有屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”。用性質(zhì)描述法可以表示成：A∪B={x|x∈A或x∈B}。

（2）性質(zhì)：

①A∪A=A

②A∪?=A

③A∪U=U（U為給定對(duì)象的全集）

④A∪B=B∪A

⑤A?B?A∪B=B

⑥A∩B?A?A∪B，A∩B?B?A∪B（A≠?且B≠?）

11、補(bǔ)集：

（1）概念：如果集合A是全集U的子集，那么由U中不屬于A的所有元素組成的集合叫做A在U中的補(bǔ)集，記作CuA，讀作“A在U中的補(bǔ)集”。用性質(zhì)描述法可以表示成：CuA={x|x?A且x∈U}。

（2）性質(zhì)：

①CuA∪A=U

②Cu（CuA）=A

③（CuA）∩A=?

④Cu（A∪B）=CuA∩CuB

⑤CuA（A∩B）=CuA∪CuB

⑥Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B）(“Card”為集合中元素的個(gè)數(shù))

12、空集：

（1）概念：不含任一元素的集合，記作?。

（2）性質(zhì)：

①空集是任何集合的子集。

②空集是任何非空集合的真子集。

③空集只有一個(gè)子集，就是它本身。

二、簡(jiǎn)易邏輯

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)，可以判斷真假的陳述句。

判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題；判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題。

2、充分條件、必要條件、充要條件

①充分條件：“如果p則q”是真命題且“如果q則p”是假命題時(shí)，我們就說(shuō)由p可推出q，稱p是q的充分條件，記作p?q。

②必要條件：“如果p則q”是假命題且“如果q則p”是真命題時(shí)，我們就說(shuō)由q可推出p，稱p是q的必要條件，記作p?q。

③充要條件：“如果p則q”是真命題且“如果q則p”是真命題時(shí)，我們就說(shuō)由p可推出q且由q可推出p，稱p是q的必要條件，記作p?q。

3、①存在量詞命題（特稱命題）p：?x∈A，p（x)；它的否定是?p：?x∈A，?p（x）。

②全稱量詞命題（全稱命題）q：?x∈A，q（x)；它的否定是?q：?x∈A，?q（x）。

4、逆否命題：

概念：如果兩個(gè)命題中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件的否定 ，則這兩個(gè)命題稱互為逆否命題。

①原命題：如果p，則q。

②逆命題：如果q，則p。

③否命題：如果?p，則?q。

④逆否命題：如果?q，則?p。