命題4.5：

可作已知三角形的內(nèi)切圓

已知：△ABC

求：作△ABC的外接圓

解：

作AB中點(diǎn)D

（命題1.10）

作AC中點(diǎn)E

（命題1.10）

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB

（命題1.11）

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，與DF交點(diǎn)記為點(diǎn)F

（命題1.11）

連接AF，BF，CF

（公設(shè)1.1）

證：

當(dāng)點(diǎn)F在△ABC內(nèi)時(shí)（左圖）

∵DF⊥AB

（已知）

∴∟ADF=∟BDF

（定義1.0）

∵AD=BD，DF公用

（已知）

∴△ADF≌△BDF，AF=BF

（命題1.4）

同理可證，AF=CF

∴AF=BF=CF

（公理1.1）

∴以點(diǎn)F為圓心，AF,BF,CF任意一個(gè)為半徑作圓ABC經(jīng)過(guò)其余的點(diǎn)

（公設(shè)1.3＆定義1.15）

∴圓ABC是△ABC的外接圓

（定義4.6）

同理可證，

當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)（中圖），可作△ABC的外接圓

當(dāng)點(diǎn)F在△ABC外時(shí)（右圖），可作△ABC的外接圓

證畢

推論：

當(dāng)點(diǎn)F在△ABC內(nèi)時(shí)，∠BAC＜直角，且所對(duì)弓形大于半圓

當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，∠BAC＜直角，且所對(duì)弓形大于半圓

當(dāng)點(diǎn)F在△ABC外時(shí)，∠BAC＜直角，且所對(duì)弓形大于半圓

（命題3.31）

此命題將在命題4.10中被使用

PS：本命題的推論在希臘文版本中并沒(méi)有被當(dāng)作推論，只是跟在命題后面的一句話

來(lái)都來(lái)了，點(diǎn)個(gè)關(guān)注唄！