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[翻譯]錐線幾何(Geometry of Conics)第一章：二次曲線的諸基本性質(zhì)1.2

2023-08-09 19:39 作者:瀰?夃 0人讀過 | 我要投稿

本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans.?Alex Martsinkovsky,?Geometry of Conics,?American?Mathematical?Society, 2007.

翻譯：野呂侯奈因

僅供學(xué)習(xí)交流使用

譯者按：

本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯. 鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機(jī)會來推廣一下二次曲線的射影幾何視角.

1.2. 解析幾何定義與二次曲線的分類

在先前的章節(jié)我們介紹了橢圓、拋物線以及雙曲線這些具體的二次曲線．現(xiàn)在我們就來說明除它們外再?zèng)]有其他的二次曲線了．

定義.?在笛卡爾坐標(biāo)系中坐標(biāo)滿足以下二次方程：

$%5Ctag%7B1%7Da_%7B11%7Dx%5E2%2B2a_%7B12%7Dxy%2Ba_%7B22%7Dy%5E2%2B2b_1x%2B2b_2y%2Bc%3D0$

的點(diǎn)的集合被稱作二次曲線．

若方程(1)左側(cè)可寫為兩個(gè)線性因式的乘積的形式，則該曲線表示兩條直線（可重疊）的并集。此時(shí)稱該曲線為退化的(degenerate)．如果一曲線只包含一點(diǎn)（例如 $x%5E2%2By%5E2%3D0$ ），此時(shí)也稱該曲線為退化的。

（譯者注：實(shí)際上，兩條直線的并集可以被視為雙曲線的一種極限情況．幾何上理解就是平面過頂點(diǎn)以某個(gè)角度截圓錐時(shí)得到的圖形，而將平面繼續(xù)旋轉(zhuǎn)一定角度就會出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)的形式．）

當(dāng)然想必大家也都知道在解析幾何中對于坐標(biāo)系中非退化的二次曲線有更簡潔的表示方式．讓我們先來梳理一下這種表示方式背后的中心思想．

首先，將坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度 $%5Cphi$ ．這意味著在方程(1)中的 $x$ 和 $y$ 將分別被替換為 $x%5Ccos%5Cphi%2By%5Csin%5Cphi$ 與 $-x%5Csin%5Cphi%2By%5Ccos%5Cphi$ ．選取一個(gè)適當(dāng)?shù)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cphi" alt="%5Cphi">，就能使得 $xy$ 項(xiàng)前的系數(shù)為零．接下來我們來將坐標(biāo)原點(diǎn)移至 $(x_0%2Cy_0)$ 的位置．也即替換 $x$ 為 $x%2Bx_0$ ， $y$ 為 $y%2By_0$ ．選取一個(gè)適當(dāng)?shù)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=(x_0%2Cy_0)" alt="(x_0%2Cy_0)">，就能將(1)轉(zhuǎn)化為(I)、(II)或是(III)的形式．

計(jì)算表明，形如

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1%5Ctag%7BI%7D$

的曲線為橢圓，其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)處，焦點(diǎn)為 $(%5Cpm%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%2C0)$ ，且長半軸長和短半軸長（即長軸和半軸長度的一半）分別等于 $a$ 和 $b$ ．特別地，當(dāng) $a%3Db$ 時(shí)，橢圓(I)也是一個(gè)圓．

形如

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1%5Ctag%7BII%7D$

的曲線為雙曲線，其交其實(shí)軸于距離為 $2a$ 的兩點(diǎn)， $a$ 和 $b$ 分別被稱為雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長，直線 $%5Cfrac%20x%20y%3D%5Cpm%20%5Cfrac%20a%20b$ 為其漸近線，焦點(diǎn)為 $(%5Cpm%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%2C0)$ ．當(dāng) $a%3Db$ 時(shí)，雙曲線(II)為等軸雙曲線．

形如

$y%5E2%3D2px%5Ctag%7BIII%7D$

的曲線為拋物線，其軸與 $x$ 軸重合，焦點(diǎn)為 $(%5Cfrac%20p%202%2C0)$ ，準(zhǔn)線為 $x%3D-%5Cfrac%20p%202$ ．

形如

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D-1%5C%5C$

的曲線叫做虛橢圓(imaginary ellipse)，其上不包含實(shí)點(diǎn)．

在后文中，除非作特殊說明，二次曲線皆是非退化且非虛的．

習(xí)題1.?求證方程 $y%3D%5Cfrac%201%20x$ 圖象為雙曲線，并求出其焦點(diǎn)．

（以下內(nèi)容摘自本書第五章：習(xí)題解答）

首先該方程表示了一個(gè)二階曲線，因?yàn)樵匠炭苫癁?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=xy%3D1" alt="xy%3D1">的形式．其次注意到

$xy%3D%5Cfrac%201%204%20((x%2By)%5E2-(x-y)%5E2)%2C%5C%5C$

令 $%5Cxi%20%3Dx%2By$ ， $%5Czeta%3Dx-y$ 可將原方程寫為雙曲線

$%5Cfrac%20%7B%5Cxi%20%5E2%7D%204-%5Cfrac%20%7B%5Czeta%20%5E2%7D%204%3D1%5C%5C$

的形式．

（譯者注：提示： $x%2By%3Dx%5Ccos%2045%5E%5Ccirc%20%2By%5Ccos%2045%5E%5Ccirc$ ， $-x%2By%3D-x%5Csin45%5E%5Ccirc%2By%5Ccos%2045%5E%5Ccirc$ ．）

接下來求焦點(diǎn)．設(shè) $X$ 沿著雙曲線向無窮遠(yuǎn)處移動(dòng)，則有 $F_1X$ 與 $F_2X$ 趨近于平行，故有 $%5Cvert%20F_1X-F_2X%5Cvert$ 的值等于線段 $F_1F_2$ 在 $Ox$ 上的投影，同時(shí)也等于該雙曲線的實(shí)軸長 $2%5Csqrt2$ ．注意到 $F_1F_2$ 與 $Ox$ 的夾角等于 $45%5E%5Ccirc$ ，于是有 $F_1F_2%3D2%5Csqrt2%5Ccdot%5Csqrt%202%3D4%20$ ．故有 $OF_1%3DOF_2%3D2$ ，因此 $F_1$ 坐標(biāo)為 $(%5Csqrt%202%2C%5Csqrt%202)$ ， $F_2$ 坐標(biāo)為 $(-%5Csqrt2%2C-%5Csqrt2)$ ．