牛頓411、貝克萊悖論；微積分基礎引發(fā)的第二次數學危機

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微積分（數學概念）：…

…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

…積、分、積分：見《牛頓337~405》…

…微積分：見《牛頓407》…

…數、學、數學：見《歐幾里得49》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

微積分歷史
…歷、史、歷史：見《歐幾里得111》…

…微積分歷史：見《牛頓407~410》…

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第二次危機

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微積分誕生之后，數學迎來了一次空前繁榮的時期，對18世紀的數學產生了重要而深遠的影響。

但是牛頓和萊布尼茨（cí）的微積分都缺乏清晰的、嚴謹的邏輯基礎。這在初創(chuàng)時期是不可避免的。

…嚴、謹、嚴謹：見《歐幾里得155》…

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

…基、礎、基礎：見《歐幾里得37》…

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科學上的巨大需要戰(zhàn)勝了邏輯上的顧忌。他們需要做的事情太多了，他們急于去攫（jué）取新的成果?；締栴}只好先放一放。

…科、學、科學：見《歐幾里得4》…

…攫：形聲。從手，矍（jué）聲。本義：鳥用爪迅速抓取…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關，聲旁和全字的讀音有關。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…]

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…基、本、基本：見《歐幾里得2》…

…問、題、問題：見《伽利略76》…

（…《伽利略》：小說名…）

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正如達朗貝爾所說的：“向前進，你就會產生信心！”

…達朗貝爾（1717～1783）：法國著名的物理學家、數學家和天文學家…

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數學史的發(fā)展一再證明自由創(chuàng)造總是領先于形式化和邏輯基礎。

…發(fā)、展、發(fā)展：見《伽利略21》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…自、由、自由：見《伽利略5》…

…創(chuàng)、造、創(chuàng)造：見《歐幾里得152》…

…形、式、形式：見《歐幾里得13》…

…化：后綴。加在名詞或形容詞之后構成動詞，表示轉變成某種性質或狀態(tài)：綠～。美～。惡～。電氣～。機械～。水利～…見《歐幾里得2》…

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于是在微積分的發(fā)展過程中，出現(xiàn)了這樣的局面：一方面是微積分創(chuàng)立之后立即在科學技術上獲得應用，從而迅速地發(fā)展；另一方面是微積分學的理論在當時是不嚴密的，出現(xiàn)了越來越多的悖（bèi）論和謬（miù）論。

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

…技、術、技術：見《歐幾里得104》…

…應、用、應用：見《歐幾里得181》…

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

…嚴、密、嚴密：見《歐幾里得53》…

…悖、論、悖論：見《歐幾里得27》…

…謬：見《歐幾里得76》…

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數學的發(fā)展又遇到了深刻的、令人不安的危機。

例如，有時把無窮小量看作不為0的有限量而從等式兩端消去，有時卻又令無窮小量為0而忽略不計。

…深、刻、深刻：見《歐幾里得133》…

…無、窮、無窮，小，無窮小：見《牛頓280》…

…量：見《歐幾里得27》…

這些矛盾，引起了數學界的極大爭論。

…矛、盾、矛盾：見《歐幾里得72》…

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如當時愛爾蘭主教貝克萊嘲笑“無窮小量”是“已死的幽靈”。

貝克萊對牛頓導數的定義進行了批判。

…導、數、導數：見《牛頓288~294》…

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

當時牛頓對導數的定義為：

當x增長為x+h時，x的立方（記為x^3）成為x+h的立方[記為（x+h）^3）]，

即x+h的立方結果為x^3+3x^2 h+3x h^2+h^3。

…^：乘方…

…x^3：x的3次方…

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x與x^3的增量分別為h和3x^2 h+3x h^2+h^3。

x^3的增量除以x^3的增量的結果為3x^2+3x h+h^2，然后代入h=0讓增量消失，則它們的最后結果為3x^2。

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[上述文字符號化：

…符、號、符號：見《歐幾里得160、161》…

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∵?x→x+h （h≠0）

∴ x^3→（x+h）^3

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又（x+h）^3=x^3+3x^2 h+3x h^2+h^3

∴ x的增量△x為h；

（x+h）^3的增量△y為3x^2 h+3x h^2+h^3。

?…△：讀音是“德爾塔”。音標為/delt?/。

在物理學中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

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△y/△x=（3x^2 h+3x h^2+h^3）/h=3x^2+3x h+h^2

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令h=0，得△y/△x=3x^2+3x·0+0^2=3x^2]

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我們知道3x^2這個結果是正確的，但是推導過程確實存在著明顯的偷換假設的錯誤：在論證的前一部分假設h?不為0，而在論證的后一部分又被取為0。

…結、果、結果：見《牛頓105》…

…正、確、正確：見《歐幾里得13》…

…推、導、推導：見《歐幾里得7》…

…假、設、假設：見《歐幾里得78》…

…錯、誤、錯誤：見《歐幾里得193》…

…論、證、論證：見《歐幾里得149》…

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那么h?到底是不是0呢？

這就是著名的貝克萊悖論。

這種微積分的基礎所引發(fā)的危機在數學史上稱為第二次數學危機，而這次危機的引發(fā)與牛頓有直接關系。

…直、接、直接：見《歐幾里得34》…

…關、系、關系：見《歐幾里得75》…

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歷史要求給微積分以嚴格的基礎。

…嚴、格、嚴格：見《歐幾里得125》…

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“柯西的貢獻在于，將微積分建立在極限理論的基礎上。

維爾斯特拉斯的貢獻在于，邏輯地構造了實數論。

因此，建立分析基礎的邏輯順序是實數系——極限論——微積分。

請看下集《牛頓412、微積分基礎不穩(wěn)固導致第二次數學危機》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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