上次聊完了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的加法， 今天來(lái)聊乘法。給實(shí)數(shù)的其他性質(zhì)收個(gè)尾，下一期就可以進(jìn)入更有趣的證明了。

補(bǔ)充一句，上次驗(yàn)證了任意實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算性質(zhì)，便可以定義減法以及驗(yàn)證差的存在唯一性。

我們定義實(shí)數(shù)a為實(shí)數(shù)c與b的差，若它們滿(mǎn)足關(guān)系a+b=c。

實(shí)數(shù)差的存在性——

令a=c+（-b），則由加法的結(jié)合律、0的性質(zhì)、以及相反數(shù)的定義可知，a+b=[c+（-b）]+b=c+[（-b）+b]=c+0=c，故a滿(mǎn)足關(guān)系a+b=c；

實(shí)數(shù)差的唯一性——

假設(shè)存在a'滿(mǎn)足a'+b=c，則由0的性質(zhì)、相反數(shù)的定義、以及加法的結(jié)合律可知，a'=a‘+0=a'+[b+（-b）]=[a'+b]+（-b）=c+（-b）=a，即任何滿(mǎn)足這個(gè)條件的實(shí)數(shù)都是相等的，即差的唯一性。

由此我們定義求兩個(gè)數(shù)差的運(yùn)算為減法，記為a=c-b。

今天我們開(kāi)始實(shí)數(shù)的另一個(gè)重要的運(yùn)算——乘法——

14實(shí)數(shù)的積的定義

依然是，類(lèi)似實(shí)數(shù)的和的定義，利用有理數(shù)的逼近定義了無(wú)理數(shù)的積，先只給出了正實(shí)數(shù)的積——

為什么要用這樣的定義呢？原因依然是，我們雖然定義了無(wú)理數(shù)，或者說(shuō)，實(shí)數(shù)，但是我們并不了解這種數(shù)的特性——就好比到了一個(gè)新的國(guó)家， 你完全不知道這個(gè)國(guó)家有什么規(guī)定禁忌，很容易一不小心就觸犯到法律或者底線(xiàn)，但是，假如我們有一個(gè)這個(gè)國(guó)家的熟人或者旅游手冊(cè)，就很容易避免這些錯(cuò)誤。

你獲得這些常識(shí)的途徑是通過(guò)一個(gè)你熟悉的媒介，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中也一樣，遇到全新定義的內(nèi)容，如果按照我們的既有經(jīng)驗(yàn)橫沖直撞，很容易一不小心犯下錯(cuò)誤。但是，如果我們用某種方式將這個(gè)新的對(duì)象向我們已經(jīng)熟悉的某個(gè)或某些內(nèi)容轉(zhuǎn)化，就可以通過(guò)研究我們已經(jīng)熟悉的內(nèi)容間接獲得這個(gè)新對(duì)象的信息——這就是所謂的化歸思想。

在這里，我們使用的媒介，便是我們?cè)缫呀?jīng)十分熟悉的有理數(shù)。

實(shí)數(shù)的積的定義——

即是說(shuō)，我們?nèi)稳蓚€(gè)實(shí)數(shù)f、g，我們分別用兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無(wú)限接近它們，

a<f<a'，b<g<b'，

如果有一個(gè)實(shí)數(shù)h滿(mǎn)足，對(duì)所有的（/任意的）a、b、a'、b'，有

ab<h<a'b'，

則成h是f和g的積，記為fg。

注意：這里面的a'、b'、a、b是有無(wú)限多的，并且，對(duì)于我們總能找到更大的a、b滿(mǎn)足條件，所以我們總能找到更大的ab，同理，總能找到更小的a'b'。

我們先證明“封閉律”，即

a.存在這個(gè)定義所述的實(shí)數(shù)，——存在性

b.這個(gè)實(shí)數(shù)是唯一的?！ㄒ恍?/p>

1.書(shū)上先證明了“存在性”——

依然用到了“確界原理”——“確界原理”的證明核心技巧是要從給出條件中找出一個(gè)有上/下界的數(shù)集，當(dāng)然，因?yàn)椤按_界原理”是由“實(shí)數(shù)分劃”導(dǎo)出的，所以任何能夠用“確界原理”證明的題目都可以用“實(shí)數(shù)分劃”來(lái)證明，數(shù)學(xué)還是這么好玩！

1. 把所有的ab構(gòu)成一個(gè)集合{ab}，所有的a'b'構(gòu)成一個(gè)集合{a'b'}；

2. 因?yàn)閷?duì)任意a、b、a'、b'，a<a'，b<b'，所以ab<a'b'，即集合{ab}有上界；

3. 根據(jù)“確界原理”，{ab}必有上確界，記為c；

4. 所以，由上確界性質(zhì)，對(duì)于任意a、b、a'、b'，ab<=c<=a'b'

5. 因?yàn)榭偰苷业礁蟮腶b，所以{ab}沒(méi)有最大值，類(lèi)似的，{a'b'}沒(méi)有最小值，所以4中的等號(hào)總無(wú)法取到，于是ab<c<a'b'，c即為我們所求的實(shí)數(shù)。

2.再證明這種實(shí)數(shù)是唯一的——

這里依然用到了我們之前提到的那個(gè)精致的小命題——

——即“無(wú)窮角度下如何理解等于”。

我們說(shuō)過(guò)，證明“唯一性”往往采用“反證法”——即，假設(shè)存在兩個(gè)對(duì)象滿(mǎn)足條件，再依據(jù)已知條件與常識(shí)導(dǎo)出這兩個(gè)對(duì)象相等，或者說(shuō)等價(jià)，即可。

書(shū)中用的也就是這個(gè)思路，不過(guò)沒(méi)有點(diǎn)明“反證法”罷了，我們?cè)偈崂硪槐椤?/p>

1. 假設(shè)有兩個(gè)實(shí)數(shù)j<=k，滿(mǎn)足ab<j<a'b'，ab<k<a'b'；

2. 0<=k-j<（a'b'）-（ab）=a'b'-ab‘+ab’-ab=b'（a'-a）+a（b'-b）；

3. 我們給定a0’，總存在a<f<a0’，我們給定b0‘，總存在g<b'<b0'；

4. 因?yàn)閍、a'的取值可以無(wú)限接近f，b、b'的取值可以無(wú)限接近g，即對(duì)任意小正數(shù)e，都存在a、b、a'、b'，使得a'-a<e/2b0'，b'-b<e/2a0'；

5. 由2,3,4得，對(duì)任意小正數(shù)e，0<=k-j<b'（a'-a）+a（b'-b）<b0'（e/2b0'）+a0’（e/2a0'）=e，即0<=k-j<e，即k=j；

6. 即該定義下，實(shí)數(shù)的積是唯一的。

我們便證明了，這種定義下的“實(shí)數(shù)的積”存在且唯一，滿(mǎn)足運(yùn)算的基本條件。

最后，給出了任意一對(duì)實(shí)數(shù)的積的定義——

利用工具“絕對(duì)值”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用一對(duì)正數(shù)的積表達(dá)任意一對(duì)實(shí)數(shù)的積。

我們便給出并且驗(yàn)證了實(shí)數(shù)的積的定義。

明天，我們來(lái)具體聊聊“實(shí)數(shù)乘法”的四條重要運(yùn)算性質(zhì)，不見(jiàn)不散哦！