構(gòu)成等差數(shù)串(公差不為0)的4個自然數(shù)能否組成一個比例
有家長提問——
4個自然數(shù)構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)串，請問這四個數(shù)能否組成一個比例？
【思路】
為方便描述，不妨設(shè)這4個自然數(shù)為a,b,c,d，它們的公差設(shè)為m，m＞0，且a＜b＜c＜d；
假設(shè)可以組成形如“():()=():()”的比例，根據(jù)比例性質(zhì)，必有外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積[1]；
如果能證明所有可能的外項(xiàng)積[2]都無法等于內(nèi)項(xiàng)積，即說明這4個數(shù)不能組成一個比例.
【步驟】
【詳解】
為方便描述，不妨設(shè)這4個自然數(shù)為a,b,c,d，它們的公差設(shè)為m，m＞0，且a＜b＜c＜d；
假設(shè)可以組成形如“():()=():()”的比例，根據(jù)比例性質(zhì)，必有兩個外項(xiàng)相乘等于兩個內(nèi)項(xiàng)相乘；
從a,b,c,d中選出2個(無需考慮順序)作為外項(xiàng)，有C(4)(2)即6種選擇，它們分別是——a和b，a和c，a和d，b和c，b和d，c和d；
我們把“a和b作為外項(xiàng)”與“c和d作為外項(xiàng)”視為“一類情況”，因?yàn)樵擃惽闆r都須滿足——a×b與c×d相等，但由于a＜c且b＜d，所以a×b一定小于c×d，無法讓外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積，因此“一類情況”不可能組成比例；
我們把“a和c作為外項(xiàng)”與“b和d作為外項(xiàng)”視為“二類情況”，因?yàn)樵擃惽闆r都須滿足——a×c與b×d相等，但由于a＜b且c＜d，所以a×c一定小于b×d，無法讓外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積，因此“二類情況”不可能組成比例；
我們把“a和d作為外項(xiàng)”與“b和c作為外項(xiàng)”視為“三類情況”，因?yàn)樵擃惽闆r都須滿足——a×d與b×c相等，由于a+d=a+(a+3m)=2a+3m，又由于b+c=(a+m)+(a+2m)=2a+3m，所以a+d=b+c即和為定值，根據(jù)最值原理“和定差小積大”[3]，因?yàn)閍與d相差3個公差m，而b與c只相差1個公差m，所以a×d一定小于b×c，無法讓外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積，因此“三類情況”不可能組成比例；
綜上所述，a,b,c,d在所有情況下都無法組成比例，我們的結(jié)論就是：構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)串的4個自然數(shù)不能組成一個比例.
【應(yīng)用】
哥哥今年20歲，弟弟今年10歲，所以今年哥哥年齡是弟弟的2倍，那么20年后，哥哥年齡還是弟弟的2倍嗎？
解：
方法一、20年后，哥哥40歲，弟弟30歲，哥哥與弟弟的年齡之比為40:30，比值為4/3，并非2，所以20年后哥哥年齡不是弟弟的2倍.
方法二、這道題20年后以及現(xiàn)在的年齡構(gòu)成了等差數(shù)串：40,30,20,10，而我們前面已經(jīng)知道——“構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)串的4個自然數(shù)不能組成一個比例”，即40:30≠20:10，所以20年后哥哥的年齡不是弟弟的2倍.
【參考】
^比例是“兩個比相等的式子”，例如比例“2:3=4:6”，2、3、4、6都叫做比例的項(xiàng)，其中2、6是比例的兩個外項(xiàng)，3、4是比例的兩個內(nèi)項(xiàng)，并且2×6=3×4，這就是比例的性質(zhì)：兩個外項(xiàng)的乘積等于兩個內(nèi)項(xiàng)的乘積.
^從a,b,c,d中選2個出來作為外項(xiàng)，無需考慮順序，因?yàn)榧偃邕x出了a和b，無論是先a后b還是先b后a，外項(xiàng)積都是ab.
^兩個正數(shù)的和是固定值，當(dāng)這兩個數(shù)的差距越來越小時，它們的乘積越來越大，特別地，當(dāng)兩個數(shù)相等時，乘積最大.
