作者：Erica Klarreich，《量子》雜志記者

翻譯，Erica，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)翻譯組成員。

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在28歲的時(shí)候，彼得·舒爾茨(Peter Scholze)就已經(jīng)在揭開數(shù)論與幾何之間深刻聯(lián)系的神秘面紗。

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在2010年，一個(gè)令人震驚的傳聞在數(shù)論界傳開并傳到了韋恩斯坦(Jared Weinstein)的耳中。傳言，德國(guó)波恩大學(xué)的某個(gè)研究生發(fā)表了一篇論文，僅用了37頁就重寫了“Harris-Taylor”，這個(gè)高深莫測(cè)的定理本來用了228頁的一本小書的篇幅來證明的。然而，這個(gè)22歲的研究生發(fā)現(xiàn)了一種法涉及到數(shù)論和幾何之間的廣泛聯(lián)系方法，回避了證明中最復(fù)雜部分。

“一個(gè)這么年輕的人做出了如此革命性的成果，這實(shí)在是太驚艷了，” 波士頓大學(xué)34歲的數(shù)論學(xué)家韋恩斯坦如是說。“這實(shí)在是讓人敬佩。”

波恩大學(xué)的數(shù)學(xué)家們?cè)缫岩庾R(shí)到他超凡的數(shù)學(xué)思維，他們也在僅僅兩年后就任命舒爾茨為正式的教授。在他發(fā)表了這篇關(guān)于Harris-Taylor的論文后，整個(gè)數(shù)論和幾何領(lǐng)域的專家們也開始注意到了舒爾茨.

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在舒爾茨28歲的時(shí)，他開始在更廣闊的數(shù)學(xué)界嶄露頭角。他獲得的諸多獎(jiǎng)項(xiàng)的頒獎(jiǎng)詞中稱他“已經(jīng)是當(dāng)世最具有影響力的數(shù)學(xué)家之一”，并且是“一個(gè)幾十年一遇的罕見天才”。他還被認(rèn)為是數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)菲爾茲獎(jiǎng)的大熱門。

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一類被他稱之為“狀似完備空間(perfectoid space)”的“分形”結(jié)構(gòu)，作為舒爾茨的關(guān)鍵革新雖然問世才幾年，但是它已經(jīng)在算術(shù)幾何，一個(gè)數(shù)論和幾何的交叉領(lǐng)域，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。Weinstein認(rèn)為，舒爾茨的工作具有一種預(yù)判的功能，“他甚至能在工作還沒開始之前，就能看清它的后續(xù)步驟是什么”。

許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)于舒爾茨的反應(yīng)是“一種威望、恐怖和激動(dòng)的結(jié)合體”，和舒爾茨共同撰寫了多篇論文的密歇根大學(xué)的數(shù)學(xué)家巴特(Bhargav Bhatt)這樣評(píng)價(jià)。

這種反應(yīng)的產(chǎn)生并不是因?yàn)樗膫€(gè)性，恰恰相反他的同事們一致描述他是平易近人的。舒爾茨在波恩大學(xué)的同事赫爾曼(Eugen Hellmann)說：“他從來不會(huì)讓你覺得他是如何高高在上的?！?/p>

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實(shí)際上，這是因?yàn)樗橇钊穗y以置信的深入研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象本質(zhì)的能力。不同于多數(shù)數(shù)學(xué)家，他通常不是從一個(gè)想解決的特定問題入手，而是從他自己想要明白的一些難以理解的概念開始。但那之后，他所創(chuàng)造的那些結(jié)構(gòu)“在成千上萬個(gè)其他方向上都有從未被預(yù)見到的應(yīng)用，只是因?yàn)樗鼈冋菓?yīng)該去考慮的正確對(duì)象”，與舒爾茨合作過的普林斯頓大學(xué)數(shù)論學(xué)家卡拉亞尼(Ana Caraiani)這樣說。

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學(xué)習(xí)算術(shù)

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在他14歲的時(shí)候，舒爾茨開始自學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)，當(dāng)時(shí)他就讀于海因里?！ず掌澲袑W(xué)，這是柏林的一所專精于數(shù)學(xué)和科學(xué)的精英高中。舒爾茨說，在這所高中，“只要你對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，你就不會(huì)無法融入其中”。

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在16歲時(shí)舒爾茨了解到在十年前懷爾斯(Andrew Wiles)證明了最著名的17世紀(jì)數(shù)學(xué)難題，也就是費(fèi)馬大定理。這個(gè)定理說明，如果n大于2,那么方程x^n+y^n = z^n不存在全部非零的正整數(shù)解。舒爾茨如饑似渴地想要學(xué)習(xí)它的證明，但他迅速發(fā)現(xiàn)盡管問題描述起來很簡(jiǎn)單，解決它需要用到一些最前沿的數(shù)學(xué)。他說：“我當(dāng)時(shí)什么都不懂，但它實(shí)在是令我著迷?！?/p>

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因此舒爾茨退而尋求他需要學(xué)習(xí)什么才能理解費(fèi)馬大定理的證明?！爸钡浆F(xiàn)在，這仍然很大程度上是我學(xué)習(xí)的方式，”他說，“實(shí)際上我從未真正學(xué)習(xí)過線性代數(shù)之類的基礎(chǔ)知識(shí)，我只是在學(xué)習(xí)其他東西的時(shí)候?qū)⑺愣恕！?/p>

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當(dāng)舒爾茨鉆研這個(gè)證明時(shí)，他被證明涉及的數(shù)學(xué)對(duì)象所吸引：被稱為模形式和橢圓曲線的結(jié)構(gòu)， 這些結(jié)構(gòu)神奇地統(tǒng)一了數(shù)論、代數(shù)、幾何和分析這些不同的領(lǐng)域。他表示閱讀涉及的這些對(duì)象的理論比問題本身更加有趣。

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舒爾茨的數(shù)學(xué)品味逐漸成型。如今，他仍然被那些求解簡(jiǎn)單方程整數(shù)解的問題所吸引。這些具體的整數(shù)解讓更加深?yuàn)W的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在他面前都變得具體?！罢f到底，我對(duì)算術(shù)感興趣。”他說如果發(fā)現(xiàn)當(dāng)他抽象的構(gòu)造能帶來關(guān)于整數(shù)的一些小發(fā)現(xiàn)時(shí)，他會(huì)感到無法言語的開心。

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在高中之后，舒爾茨在波恩大學(xué)繼續(xù)追求著他對(duì)數(shù)論和幾何的這種興趣。他的同學(xué)赫爾曼回憶到，舒爾茨在他的數(shù)學(xué)課上從來不記筆記。舒爾茨可以迅速理解課程的材料，“不僅僅是表層的理解，而且是某種意義上很深度的真正理解，這樣他也不會(huì)遺忘。”

舒爾茨開始了在算術(shù)幾何領(lǐng)域的科研生涯，這個(gè)領(lǐng)域使用幾何工具來研究多項(xiàng)式方程的整數(shù)解,例如xy2+3y=5這種方程的整數(shù)解。對(duì)于這種類型的一些方程，研究它們?cè)诒环Q為p進(jìn)數(shù)(p-adic number)的數(shù)域中的解有著豐碩成果。p進(jìn)數(shù)和實(shí)數(shù)一樣是通過填補(bǔ)整數(shù)和有理數(shù)之間的間隙構(gòu)造的（通常稱其為完備化），但是關(guān)于“這些間隙之中什么樣的數(shù)是彼此接近”的的概念和通常理解不同：在p進(jìn)數(shù)當(dāng)中，兩個(gè)數(shù)的差是小的并不能說明它們是接近的，實(shí)際上只有它們之間的差可以被p整除足夠多次，它們才被認(rèn)為是接近的。

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這是一個(gè)奇怪的判斷依據(jù)，但它是有用的。以3進(jìn)數(shù)為例，它提供了一種自然的方式去研究形如x2=3y2的方程，因?yàn)樵谄渲杏兄?這樣一個(gè)關(guān)鍵的因子。

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舒爾茨說，p進(jìn)數(shù)“和我們的通常感覺差別很大”。但是這些年來它們對(duì)他來說變得很自然?！叭缃裎艺J(rèn)為實(shí)數(shù)比p進(jìn)數(shù)要難以捉摸得多。我和p進(jìn)數(shù)相處得太久了，以至于現(xiàn)在實(shí)數(shù)對(duì)于我來說顯得非常陌生?！?/p>

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數(shù)學(xué)家們?cè)?970年代注意到，如果通過構(gòu)造一個(gè)以p進(jìn)數(shù)為底且每一層環(huán)繞下面一層p次的無窮的數(shù)系的塔來擴(kuò)張p進(jìn)數(shù)，許多關(guān)于p進(jìn)數(shù)的問題會(huì)變得更加容易。在這個(gè)無窮的塔的“頂部”的數(shù)域是一個(gè)“分形”的對(duì)象，這也是舒爾茨之后發(fā)展的狀似完備空間理論的最簡(jiǎn)單的例子。

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舒爾茨給他自己布置了這樣一個(gè)任務(wù)：理清為什么這種無窮環(huán)繞的構(gòu)造能使如此多的有關(guān)p進(jìn)數(shù)和多項(xiàng)式的問題變得簡(jiǎn)單?！拔覈L試?yán)斫膺@種現(xiàn)象的內(nèi)核，”他說，“但是并沒有能解釋它的一般性理論。”

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他最終意識(shí)到，給很多種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)構(gòu)造出狀似完備空間是可行的。他證明了這些狀似完備空間能夠?qū)㈥P(guān)于多項(xiàng)式的問題從p進(jìn)數(shù)的世界轉(zhuǎn)移到一個(gè)不同的數(shù)學(xué)世界，在其中算術(shù)變得更加簡(jiǎn)單（例如，在做加法時(shí)不需要進(jìn)位）?！盃钏仆陚淇臻g最怪異的性質(zhì)是它們可以在兩個(gè)數(shù)域間魔術(shù)般地移動(dòng)?！表f恩斯坦說。

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這一想法促使舒爾茨部分證明了一個(gè)被稱為權(quán)重單值性猜想（weight-monodromy conjecture）的復(fù)雜問題。2012年，他的博士論文就是這個(gè)問題。韋恩斯坦稱，這篇論文“影響深遠(yuǎn)，全世界相關(guān)專家都會(huì)去研究它”。

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舒爾茨“準(zhǔn)確找到了正確且最簡(jiǎn)潔的方法來整合前人的全部工作，對(duì)這些工作他給出了一個(gè)優(yōu)雅的刻畫。隨后，就因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)的是真真切切的正確框架，他又做出遠(yuǎn)超已知結(jié)論的成果?！?赫爾曼說。

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俯瞰叢林

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盡管狀似完備空間的理論極其復(fù)雜，但舒爾茨的講座和論文以清晰而聞名。韋恩斯坦稱：“在舒爾茨向我解釋前，我什么也不理解?！?/p>

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卡拉亞尼說，每當(dāng)舒爾茨闡述他的想法，總是想方設(shè)法降低難度，試圖讓那些研究生新生水平人能夠理解。“在他的想法中有一種開放和包容的感覺，”她說，“并且他不僅僅和部分資深專家交流想法，實(shí)際上一大批的年輕人都有機(jī)會(huì)與其接觸。” 卡拉亞尼認(rèn)為舒爾茨友好且平易近人的舉止使得他成為該領(lǐng)域的理想領(lǐng)袖。她提到有一次當(dāng)她和舒爾茨在與一群數(shù)學(xué)家進(jìn)行艱難的“遠(yuǎn)足”時(shí)，他是那個(gè)四處奔跑來確保每個(gè)人都能跟上的人。

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盡管有了舒爾茨的解釋，狀似完備空間對(duì)于其他學(xué)者而言仍然是難以駕馭的，赫爾曼說：“如果你離他描繪的道路偏離了一點(diǎn)，那你就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己處于如同叢林中央一般的困境?！钡J(rèn)為舒爾茨本人“永遠(yuǎn)不會(huì)在叢林中迷失，因?yàn)樗麖奈创蛩阍趨擦掷锛m纏。他總是在為了某種清晰明了的概念而尋找俯瞰整個(gè)叢林的視角?！?/p>

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舒爾茨通過強(qiáng)迫自己飛過叢林里的藤蔓來避免被它們所困：就像他大學(xué)時(shí)一樣，他喜歡不寫下任何東西來工作。那樣他就必須用最清晰的方法來闡明他的想法，他說：“你的大腦只有有限的能力，因此不能在其中做太過復(fù)雜的事?！?/p>

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當(dāng)其他數(shù)學(xué)家正開始嘗試?yán)斫鉅钏仆陚淇臻g時(shí)，舒爾茨和他的合作者已經(jīng)毫不意外的利用它做出最深刻的發(fā)現(xiàn)了。在2013年，他在網(wǎng)上貼出的一個(gè)結(jié)果“著實(shí)讓學(xué)界震驚”，韋恩斯坦說，“我們都沒有意識(shí)到這樣一個(gè)定理即將誕生?！?/p>

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舒爾茨的結(jié)果擴(kuò)大了互反律的適用范圍?；シ绰捎谩皶r(shí)鐘的算術(shù)”（這個(gè)時(shí)鐘不一定是12小時(shí)制的）來處理多項(xiàng)式的性質(zhì)?！皶r(shí)鐘的算術(shù)”（例如對(duì)于有12個(gè)小時(shí)的時(shí)鐘，5+8=1）是數(shù)學(xué)中最自然且被廣泛研究的有限數(shù)系。

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互反律是有著200年歷史的二次互反律的推廣，而二次互反律是數(shù)論的奠基石，也是舒爾茨本人最喜歡的定理之一。這條定律陳述了給定兩個(gè)素?cái)?shù)p和q，在大多數(shù)情況下，p在有q個(gè)小時(shí)的時(shí)鐘上是一個(gè)完全平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)q是在有p個(gè)小時(shí)的時(shí)鐘上的完全平方數(shù)。例如，因?yàn)? = 16 = 42，5在有11小時(shí)的時(shí)鐘上是平方數(shù)，而由于11 = 1 = 12，11在有5小時(shí)的時(shí)鐘上也是平方數(shù)。

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“我認(rèn)為這令人震驚，”舒爾茨說，“從表面看來這兩者似乎毫無關(guān)聯(lián)?！?/p>

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“你可以把很多的現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論解釋為是對(duì)推廣這一定律的嘗試。”韋恩斯坦說。

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20世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了互反律和似乎完全不同的主題之間的驚人聯(lián)系：研究諸如 埃舍爾(M.C.Escher)著名的“天使與惡魔”的“雙曲”幾何。這一聯(lián)系是“朗蘭茲綱領(lǐng)”的核心部分，這一綱領(lǐng)是一些揭示數(shù)論、幾何與分析之間關(guān)系的定理與猜想的合集。如果這些猜想能夠被證明，我們通常能得到具有強(qiáng)大威力的工具。比如費(fèi)馬大定理的證明能夠被歸結(jié)于解決朗蘭茲綱領(lǐng)的一個(gè)小部分（看出這個(gè)聯(lián)系也很難）。

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數(shù)學(xué)家們逐漸意識(shí)到朗蘭茲綱領(lǐng)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了雙曲圓盤：它也可以在高維的雙曲空間和其他情況下的簇中被研究。如今舒爾茨展示了如何把朗蘭茲綱領(lǐng)延伸到“雙曲三維空間”（一種雙曲圓盤的三維類比）中的很多結(jié)構(gòu)。通過構(gòu)造一個(gè)狀似完備空間版本的雙曲三維空間，舒爾茨發(fā)現(xiàn)了一系列全新的互反律。

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“舒爾茨的工作完全地改變了我們對(duì)能做到的和可能做到的事的看法?！笨ɡ瓉喣嵴f。

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韋恩斯坦稱舒爾茨的成果表明朗蘭茲綱領(lǐng)“比我們所想象的還要深刻...它更加系統(tǒng)化，它無所不包”。

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極速前進(jìn)

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和舒爾茨討論數(shù)學(xué)就如同尋求一條“先知的預(yù)言”，韋恩斯坦認(rèn)為。“如果他說：“是，這可以?！蹦敲茨憧梢詫?duì)它抱有信心；反之你則應(yīng)該立刻放棄；如果他說他不知道——他確實(shí)也有不知道的時(shí)候——那么你很幸運(yùn)，因?yàn)槟闶种杏辛艘粋€(gè)有趣的問題?！?/p>

卡拉尼亞說，與舒爾茨的合作并不是像預(yù)想中一樣壓抑的經(jīng)歷。當(dāng)她與舒爾茨合作時(shí)，從來沒有一絲緊迫感，她說：“感覺就像我們總是走在正確的路上——用最好的方法證明了我們能得到的最一般性的定理，總是正確地做出了關(guān)鍵的構(gòu)造。”?

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不過曾有一次，舒爾茨本人確實(shí)很有緊迫感——在2013年年底，他需要在他女兒的出生前的短暫時(shí)間，去把一篇論文寫完。他說，推動(dòng)給自己工作是件好事，“在之后，我就沒什么事情需要完成了。”

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舒爾茨說，成為一個(gè)父親迫使他在時(shí)間管理上更加嚴(yán)格。但是他無需擔(dān)心科研受到影響——數(shù)學(xué)填補(bǔ)了他其他家務(wù)事之間的空隙。“我想數(shù)學(xué)是我的激情所在，”他說，“我無時(shí)無刻都在思考數(shù)學(xué)問題”。

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但他一點(diǎn)也不傾向于把這種激情浪漫化。當(dāng)被問起是否有感覺自己注定要成為一個(gè)數(shù)學(xué)家時(shí)，他表示反對(duì)。“那聽起來太哲學(xué)了”，他說。

從私人角度來說，他日漸增長(zhǎng)的名氣（例如，三月時(shí)他成為德國(guó)著名的萊布尼茲獎(jiǎng)的最年輕得主，該獎(jiǎng)項(xiàng)授予250萬歐元的研究經(jīng)費(fèi)）讓他有些許不適。“有時(shí)這有些讓我不知所措，”舒爾茨說：“我試圖讓我的日常生活不被它影響。”

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舒爾茨繼續(xù)探索狀似完備空間，但他也涉足其他有關(guān)代數(shù)拓?fù)涞臄?shù)學(xué)領(lǐng)域，該領(lǐng)域運(yùn)用代數(shù)來研究幾何?！霸谶^去的一年半中，舒爾茨已經(jīng)完全成為了這一學(xué)科的大師，”巴特稱，“他改變了這一領(lǐng)域的思考方式。”

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巴特認(rèn)為，對(duì)于其他數(shù)學(xué)家們而言，舒爾茨進(jìn)入他們的領(lǐng)域既是可怕的也是令人激動(dòng)的?！斑@代表著該學(xué)科正在快速發(fā)展。我很欣喜他正在和我的工作緊密相關(guān)的領(lǐng)域工作，因此我確實(shí)看到了這些前沿知識(shí)在不斷向前推進(jìn)?！?/p>

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但是對(duì)舒爾茨而言，他到目前為止的工作只是熱身。“我仍然處于試圖了解“那里有什么”的階段，有一天也許我會(huì)用自己的語言來重新描述它們。”他說，“我覺得我并沒有真正地開始研究這一領(lǐng)域?！?/p>

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