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圖片來源｜網(wǎng)絡(luò)

1．3圖容斥題解題技巧：「摞餅法」

2．例題1：錯誤率57%的送分題

3．例題2：理解關(guān)系后就沒有任何難度

4．例題3：老生常談的「3圖容斥」題

5．例題4：經(jīng)典普通的「3圖容斥」題

有這樣一類題，它非常容易理解，計算難度也很低，理論上就應(yīng)該是送分題，但是它的正確率非常低，這就是「3圖容斥」題。相信通過下面的學(xué)習(xí)，所有的小伙伴都能把它做成屬于自己的「送分題」。

一、3圖容斥題解題技巧：「摞餅法」

「3圖容斥」題往往和「3個區(qū)域代表圖片的容斥、集合」有關(guān)，模型如下（以參加活動的人數(shù)為例）：

給出參加甲乙丙活動的人數(shù)、兩種活動的人數(shù)和三種活動的人數(shù)，求總?cè)藬?shù)。其計算過程為：

總?cè)藬?shù)=（甲人數(shù)+乙人數(shù)+丙人數(shù)）-1×（兩種人數(shù)）-2×（三種人數(shù)）

上面的公式基本上每個人都知道，但知道是不夠的，能否理解才是關(guān)鍵。公考真題中關(guān)于此類題目經(jīng)常有各種各樣的變形，不會讓考生那么舒服地去套公式，只有理解其原理，才能真正掌握此類題型。

此類題目可將甲、乙、丙3個區(qū)域視作3張「大餅」，則題干模型可視為3張「大餅」摞在一起，參加兩種活動的人數(shù)「摞了2層」，參加三種活動的人數(shù)「摞了3層」。

因為要求的為「總?cè)藬?shù)」，即「只有一層大餅」，因此要去掉多余的層數(shù)。即：

兩種活動→「2層」→應(yīng)去掉1層
三種活動→「3層」→應(yīng)去掉2層

即：
總?cè)藬?shù)=（甲人數(shù)+乙人數(shù)+丙人數(shù)）-1×（兩種人數(shù)）-2×（三種人數(shù)）

通過「摞餅法」理解這個公式后，公考中此類題目都能輕松做對。

二、例題1：錯誤率57%的送分題

（2018421聯(lián)考）聯(lián)歡會上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三樣都吃的則有6人。

假設(shè)所有人都吃了東西，那么只吃一樣?xùn)|西的人數(shù)是多少？
（A）12
（B）18
（C）24
（D）32

假設(shè)所有人都吃了東西，那么只吃一樣?xùn)|西的人數(shù)是多少？
（A）12
（B）18
（C）24
（D）32

正確率43%，易錯項C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①24「冰」，30「蛋」，38「水」
②12「冰+蛋」，16「冰+水」，18「蛋+水」，6「三者都吃」
③所有人都吃了東西，求只吃一種食物的人數(shù)

本題毫無任何難度——既沒有計算難度，又沒有什么陷阱，就是一道非常非常普通的不能再普通的「3圖容斥」題，然而錯誤率卻超過了一半，說明很多考生根本沒有思考過怎么去做容斥題。

在做這道題之前，各位小伙伴們請思考一下，總?cè)藬?shù)是多少？

相信大家都能馬上說出總?cè)藬?shù)=（24+30+38）-（12+16+18）+6=92-46+6=52

也就是說，如果題目問的是「參加聯(lián)歡會的總?cè)藬?shù)是多少」，那么本題可能會變成一道正確率超過90%的送分題。但是——

這個人數(shù)是怎么算的？是不是根據(jù)「容斥公式」來算的呢？如果是的話，那有沒有理解這個公式怎么來的呢？

本題的問法也是非常基礎(chǔ)的，和「參加聯(lián)歡會的總?cè)藬?shù)是多少」沒有任何區(qū)別，所不同的是幾乎所有的考生都會去背「容斥原理公式」，但大部分考生卻不會去了解這個公式怎么來的，不去研究容斥原理的本質(zhì)，導(dǎo)致一個送分題變成了一半多考生 的丟分題。

所以，大家可以通過本題，了解容斥原理的本質(zhì)，從而幫助自己100%拿下此類題目的分?jǐn)?shù)。

本題結(jié)構(gòu)圖非常簡單：

要理解容斥原理的本質(zhì)，就要理解圖中幾個數(shù)值的關(guān)系。把吃過3種食品的人數(shù)視作3張大餅，當(dāng)有人同時吃過多種食物時，3張大餅就鋪在了一起。

當(dāng)需要計算聯(lián)歡會總?cè)藬?shù)時，先嘗試3張大餅相加，得24+30+38=92。但3張大餅有重疊的部分，包括「同時吃過兩種食物」和「同時吃過3種食物」兩類。

此時：
「同時吃過兩種食物」疊了2層
「同時吃過3種食物」疊了3層

為了求出「只有一層大餅的」的情況（即排除重復(fù)吃多種食物的人數(shù)），再嘗試從92的總數(shù)里減去「同時吃過兩種食物」的情況，即：
92-（12+16+18）=46

此時「同時吃過兩種食物」的「餅」已經(jīng)從2層減為1層，符合要求，但又出現(xiàn)了新的問題，即中間「同時吃過3種食物」每次都在減去「同時吃過兩種食物」的步驟中都減掉1層，也就是說疊了3層的餅被減了3層，變成了0層。

因此需要加上「同時吃過3種食物」的情況，把大餅最中間恢復(fù)為1層，即46+6=52。

這就是「容斥原理」的本質(zhì)——讓所求的值只有「1層」，而不是多層或0層。

因此本題就很簡單了，要求「只吃一種食物」的人數(shù)，因此可以先求「只吃冰淇淋」人數(shù)，首先嘗試用「吃冰淇淋總?cè)藬?shù)」減去「冰+水」人數(shù)，再減去「冰+蛋」人數(shù)，如圖：

此時「三者都吃」的區(qū)域被減為「-1」層，但題干要求是「0層」，因此要重新補充1層，所要求人數(shù)即為：
24-12-16+6=2

同理可知：
「只吃蛋糕人數(shù)」=30-12-18+6=6
「只吃水果人數(shù)」=38-16-18+6=10

因此「只吃一種食物人數(shù)」=2+6+10=18，B正確。

通過本題能夠理解「3者容斥、集合」類題目的本質(zhì)，從而對此類題目的變形也能從容應(yīng)對。備考時不要怕在這種題目上花時間，絕對是物有所值的。

三、例題2：理解關(guān)系后就沒有任何難度

【2015國考地市級卷65題／省級卷73題】某企業(yè)調(diào)查用戶從網(wǎng)絡(luò)獲取信息的習(xí)慣，問卷回收率為90%，調(diào)查對象中有179人使用搜索引擎獲取信息，146人從官網(wǎng)站獲取信息，246人從社交網(wǎng)站獲取信息，同時使用這三種方式的有115人，使用其中兩種的有24人，另有52人這三種方式都不使用。

這次調(diào)查共發(fā)出了多少份問卷？
（A）310
（B）360
（C）390?
（D）410

這次調(diào)查共發(fā)出了多少份問卷？
（A）310
（B）360
（C）390?
（D）410

正確率49%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①問卷回收率90%
②179「搜」、146「官」、246「社」
③115「3種」、24「2種」、52「都不用」
④求問卷總數(shù)

本題非常簡單，根據(jù)題意可簡單畫出「回收的問卷」中各數(shù)據(jù)的關(guān)系：

3個圓及相交部分代表3種方式及共同使用多種方式的人數(shù)，右上角圓角矩形為不使用3種方式的人數(shù)。

可知3種方式相加后，藍(lán)色箭頭所指的位置有「2層」（需要減去1層），紅色箭頭所指位置有「3層」（需要減去2層），因此「回收問卷」的總數(shù)為：
（179+146+246）-24-（115×2）+52
=571-24-230+52=369

因此「問卷總數(shù)」=「回收問卷」÷90%
=369÷0.9=410，D選項正確。

本題除了三位數(shù)加法的運算之外沒有任何難度。另外，該題4個選項差距不小，即使三位數(shù)加法算錯了一點，也不會影響結(jié)果。這么簡單的題目，依然有一半人做錯，可見打好「數(shù)量關(guān)系」的基礎(chǔ)非常重要。

簡單畫圖后，就很容易理解相互間的關(guān)系。

四、例題3：老生常談的「3圖容斥」題

【2011國考74題】某市對52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時兩項不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項都不合格。

三項全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種？
（A）37?
（B）36?
（C）35?
（D）34

三項全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種？
（A）37?
（B）36?
（C）35?
（D）34

正確率58%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①52種產(chǎn)品
②8「低溫」、10「可溶」、9「接縫」不合格
③兩項不合格7種，3項不合格1種
④求3項全部合格的產(chǎn)品數(shù)

本題是老生常談的「3圖容斥」題，各位小伙伴一定要將其視作送分題來做。

很明顯3種不合格產(chǎn)品的關(guān)系如下：

將3種不合格產(chǎn)品單獨視為3張「大餅」，則3張「大餅」摞起來之后，：
藍(lán)色區(qū)域的「兩項不合格數(shù)」有「2層」，需減掉1層
棕色區(qū)域的「3項不合格數(shù)」有「3層」，需減掉2層

因此出現(xiàn)不合格產(chǎn)品的總數(shù)為：
「三種不合格數(shù)相加」-1×「兩項不合格數(shù)」-2×「3項不合格數(shù)」
=8+9+10-7-2×1=18

「全部合格」=52-18=34，D選項正確。

基本平均每兩年國考都會出現(xiàn)一道「容斥集合」類題目，每次這種題出現(xiàn)都有超過4成的考生做錯，非?？上?。此類題就是送分題，一定要保證100%做出來、做對。

只要把3種單獨的數(shù)據(jù)視為「大餅」，就很容易理解相互間的關(guān)系了。

五、例題4：經(jīng)典普通的「3圖容斥」題

【2010國考47題】某高校對一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊會計師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參加計算機考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。

接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？
（A）120
（B）144
（C）177
（D）192

接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？
（A）120
（B）144
（C）177
（D）192

正確率56%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①63「注」、89「英」、47「計」
②24「三種都參加」，46「兩種參加」，15「不參加」
③求總?cè)藬?shù)

本題是非常經(jīng)典又普通的「容斥集合」題，沒有任何難度。題干數(shù)據(jù)關(guān)系如下：

將注英計視作3張大餅，則：
兩種參加相當(dāng)于摞了2層，需減去1層
三種參加相當(dāng)于摞了3層，需減去2層

因此參加考試人數(shù)=注+英+計-1×（兩種參加）-2×（三種參加）
=63+89+47-46-2×24
=152+1-48
=105

總?cè)藬?shù)=參加人數(shù)+不參加人數(shù)=105+15=120，A選項正確。

「容斥集合」題已經(jīng)是老生常談，其原理簡單，公式容易理解，一定要做對。

另外，雖然本題未涉及，但還是要注意「參加兩種」和「參加不少于兩種」的區(qū)別。