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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相依性問(wèn)題備受關(guān)注,相依性(dependence)是反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間關(guān)聯(lián)程度的一個(gè)概念。它與相關(guān)性(correlation)有區(qū)別，常用的相關(guān)性度量是Pearson相關(guān)系數(shù),它只度量了兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系,其值不僅依賴(lài)于它們的Copula函數(shù),而且還依賴(lài)它們的邊緣分布函數(shù)。

直觀地說(shuō),Copula函數(shù)就是兩個(gè)(或多個(gè))隨機(jī)變量的聯(lián)合分布可以表示為它們的邊緣分布函數(shù)的函數(shù),這個(gè)函數(shù)就是Copula函數(shù),它與隨機(jī)變量的邊緣分布沒(méi)有關(guān)系,所反映的是兩個(gè)(多個(gè))隨機(jī)變量之間的“結(jié)構(gòu)”,這種結(jié)構(gòu)包含了兩個(gè)隨機(jī)變量相依性的全部信息。

Joe(1990)尾部相依性指數(shù)

Joe(1990)提出了一個(gè)(強(qiáng))尾部相依性指數(shù)。例如，對(duì)于下尾，可以考慮

也就是

• 上下尾(經(jīng)驗(yàn))相依性函數(shù)

我們的想法是繪制上面的函數(shù)。定義

下尾

對(duì)上尾來(lái)說(shuō)，其中是

與?

，相依的生存copula ，即

其中

現(xiàn)在，我們可以很容易地推導(dǎo)出這些函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：

因此，對(duì)于上尾，在右邊，我們有以下圖形

而對(duì)于下尾，在左邊，我們有

損失賠償數(shù)據(jù)?

Copula函數(shù)在經(jīng)濟(jì)、金融、保險(xiǎn)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.早在1998年Frees和Valdez(1998)研究了索賠額與管理費(fèi)之間的關(guān)系,采用了Copula函數(shù)對(duì)其進(jìn)行刻畫(huà)并應(yīng)用于保費(fèi)的定價(jià)。

對(duì)于代碼，考慮一些真實(shí)的數(shù)據(jù)，比如損失賠償數(shù)據(jù)集。

損失賠償費(fèi)用數(shù)據(jù)有1,500個(gè)樣本和2個(gè)變量。這兩欄包含賠償金付款(損失)和分配的損失調(diào)整費(fèi)用(alae)。后者是與解決索賠相關(guān)的額外費(fèi)用（如索賠調(diào)查費(fèi)用和法律費(fèi)用）。

我們的想法是，在左邊繪制下尾函數(shù)，在右邊繪制上尾函數(shù)。

現(xiàn)在，我們可以將這個(gè)圖形，與一些具有相同Kendall's tau參數(shù)的copulas圖形進(jìn)行比較

高斯copulas

如果我們考慮高斯copulas 。?

1. 


2. > copgauss=normalCopula(paramgauss)

3. > Lga=function(z) pCopula(c(z,z),copgauss)/z

4. > Rga=function(z) (1-2*z+pCopula(c(z,z),copgauss))/(1-z)

6. > lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgs,Rgs)

Gumbel?copula

或Gumbel的copula。

1. > copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)

2. 


3. > lines(c(u,u+.5-u[1])

置信區(qū)間

但是由于我們沒(méi)有任何置信區(qū)間，所以仍然很難得出結(jié)論(即使看起來(lái)Gumbel copula比Gaussian copula更適合)。一個(gè)策略可以是從這些copula曲線中生成樣本，并可視化。對(duì)于高斯copula曲線

1. > nsimul=500

2. > for(s in 1:nsimul){

3. + Xs=rCopula(nrow(X),copgauss)

4. + Us=rank(Xs[,1])/(nrow(Xs)+1)

5. + Vs=rank(Xs[,2])/(nrow(Xs)+1)

6. + lines(c(u,u+.5-u[1]),MGS[s,],col="red")

包括–逐點(diǎn)–90%的置信區(qū)間

1. > Q95=function(x) quantile(x,.95)

2. 


3. > lines(c(u,u+.5-u[1]),V05,col="red",lwd=2)

高斯copula曲線??

Gumbel copula曲線?

盡管統(tǒng)計(jì)收斂的速度會(huì)很慢，評(píng)估底層的copula 曲線是否具有尾部相依性簡(jiǎn)單。尤其是當(dāng)copula 曲線表現(xiàn)出尾部獨(dú)立性的時(shí)候。比如考慮一個(gè)1000大小的高斯copula 樣本。這是我們生成隨機(jī)方案后得到的結(jié)果。

或者我們看一下左邊的尾巴(用對(duì)數(shù)比例)

現(xiàn)在，考慮10000個(gè)樣本。

在這些圖上，如果極限是0，或者是某個(gè)嚴(yán)格的正值，是相當(dāng)難以斷定的（同樣，當(dāng)感興趣的值處于參數(shù)的支持邊界時(shí)，這是一個(gè)經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題）。所以，一個(gè)簡(jiǎn)單的想法是考慮一個(gè)較弱的尾部相依指數(shù)。

Ledford?和Tawn(1996)尾部相關(guān)系數(shù)

描述尾部相依性的另一種方法可以在Ledford & Tawn（1996）中找到。假設(shè)和具有相同的分布?，F(xiàn)在，如果我們假設(shè)這些變量是（嚴(yán)格）獨(dú)立的。

但如果我們假設(shè)這些變量是（嚴(yán)格的）同單調(diào)性的（即這里的變量是相等的，因?yàn)樗鼈冇邢嗤姆植迹?，則

所以，有這樣一個(gè)假設(shè)：

那么a=2可以解釋為獨(dú)立性，而a=1則表示強(qiáng)（完美）正相依性。因此，考慮進(jìn)行如下變換，得到[0,1]中的一個(gè)參數(shù)，其相依性強(qiáng)度隨指數(shù)的增加而增加，例如

為了推導(dǎo)出尾部相依指數(shù)，假設(shè)存在一個(gè)極限，即

這將被解釋為一個(gè)（弱）尾部相依指數(shù)。因此定義函數(shù)

下尾巴（在左邊）

上尾（在右邊）。計(jì)算這些函數(shù)的R代碼非常簡(jiǎn)單。

1. 


2. > L2emp=function(z) 2*log(mean(U<=z))/

3. 


4. > R2emp=function(z) 2*log(mean(U>=1-z))/

5. + log(mean((U>=1-z)&(V>=1-z)))-1

6. > plot(c(u,u+.5-u[1]),c(L,R),type="l",ylim=0:1,

7. 


8. > abline(v=.5,col="grey")

?高斯copula函數(shù)

同樣，也可以將這些經(jīng)驗(yàn)函數(shù)與一些參數(shù)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，例如，從高斯copula函數(shù)中得到的函數(shù)（具有相同的Kendall's tau）。

1. 


2. > copgauss=normalCopula(paramgauss)

3. > Lgs =function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),

4. + copgauss))-1

5. > Rgas =function(z) 2*log(1-z)/log(1-2*z+

6. + pCopula(c(z,z),copgauss))-1

7. 


8. > lines(c(u,u+.5-u[1])

Gumbel copula

1. > copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)

2. > L=function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),

3. + copgumbel))-1

4. > R=function(z) 2*log(1-z)/log(1-2*z+

5. + pCopula(c(z,z),copgumbel))-1

7. > lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgl,Rgl),col="blue")

同樣，我們觀察置信區(qū)間，Gumbel copula在這里提供了一個(gè)很好的擬合

極值copula

我們考慮copulas族中的極值copulas。在雙變量的情況下，極值可以寫(xiě)為?

其中

為Pickands相依函數(shù)，它是一個(gè)凸函數(shù)，滿足于

觀察到，在這種情況下：

其中

肯德?tīng)栂禂?shù)，可寫(xiě)成

例如

那么，我們就得到了Gumbel copula。 現(xiàn)在，我們來(lái)看（非參數(shù)）推理，更準(zhǔn)確地說(shuō)，是相依函數(shù)的估計(jì)。最標(biāo)準(zhǔn)的估計(jì)器的出發(fā)點(diǎn)是觀察

是否有copula函數(shù)?

具有分布函數(shù)

而反過(guò)來(lái)，Pickands相依函數(shù)可以寫(xiě)成

因此，Pickands函數(shù)的自然估計(jì)是

其中，

是經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)

這是Capéràa, Fougères & Genest (1997)中提出的估計(jì)方法。在這里，我們可以用

1. 


2. 


3. > Z=log(U[,1])/log(U[,1]*U[,2])

4. > h=function(t) mean(Z<=t)

5. > a=function(t){

6. function(t) (H(t)-t)/(t*(1-t))

7. + return(exp(integrate(f,lower=0,upper=t,

8. + subdivisions=10000)$value))

10. > plot(c(0,u,1),c(1,A(u),1),type="l"

整合得到Pickands相依函數(shù)的估計(jì)值。上圖中可以直觀地看到上尾的相依指數(shù)。

1. > A(.5)/2

2. [1] 0.4055346

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