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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

向量自回歸模型估計(jì)的先決條件之一是被分析的時間序列是平穩(wěn)的。但是，經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)變量之間在水平上存在著均衡關(guān)系，可以使這些變量差分而平穩(wěn)。這就是所謂的協(xié)整關(guān)系。由于知道這種關(guān)系可以改善分析的結(jié)果，所以希望有一個計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，能夠捕捉到這種關(guān)系。所謂的向量誤差修正模型（VECMs）就屬于這一類模型。下文介紹了VECMs的基本概念，并在R中估計(jì)這種模型。

模型和數(shù)據(jù)

向量誤差修正模型與VAR模型非常相似，可以有如下形式。

其中，Δx為向量x中各變量的第一次差分，Pi為協(xié)整關(guān)系的系數(shù)矩陣，Γ為x的差分變量滯后的系數(shù)矩陣，d為確定性項(xiàng)的向量，C為其對應(yīng)的系數(shù)矩陣，p為VAR形式下模型的滯后階數(shù)，?為均值為零的誤差項(xiàng)，方差-協(xié)方差矩陣Σ。

由上式可知，與VAR模型唯一不同的是誤差修正項(xiàng)Πxt-1，它反映了如果其中一個變量偏離其均衡值，則x中的變量增長率會如何變化的影響。系數(shù)矩陣Π可以寫成矩陣乘積Π=αβ′，這樣誤差修正項(xiàng)就變成了αβ′xt-1。協(xié)整矩陣β包含了各層次變量之間的均衡關(guān)系信息。β′xt-1描述的向量可以解釋為變量與均衡值之間的距離，α是所謂的載荷矩陣，描述了因變量向均衡值收斂的速度。

為了說明R向量誤差修正模型估計(jì)，我們使用數(shù)據(jù)集E6(2007)，其中包含從季度1972Q2到1998Q4，季節(jié)性調(diào)整的長期利率和通脹率時間序列。

1. 


2. plot(data) #繪圖數(shù)據(jù)

估計(jì)

有多種方法可以估計(jì)VEC模型。第一種方法是使用普通最小二乘法，這種方法可以得到準(zhǔn)確的結(jié)果，但不能估計(jì)變量之間的協(xié)整關(guān)系。估計(jì)廣義最小二乘法（EGLS）是一種替代方法。然而，最流行的VECMs估計(jì)方法是Johansen（1995）的最大似然估計(jì)。

但是，在估計(jì)VEC模型之前，必須指定滯后階數(shù)p、協(xié)整矩陣的等級r和確定性項(xiàng)。選擇滯后階數(shù)的一個有效策略是在水平上估計(jì)VAR，并選擇最小化信息準(zhǔn)則的滯后方法。由于時間序列表現(xiàn)出強(qiáng)烈的季節(jié)性規(guī)律，我們通過指定季節(jié)參數(shù)=4來控制，其中4是數(shù)據(jù)的頻率。

1. # 估計(jì) VAR

2. VAR(data,ic = "AIC", season = 4 ,....)

3. 


4. # AIC建議的滯后階數(shù)

5. var$p

根據(jù)AIC，可以使用滯后階數(shù)為4，這與Lütkepohl（2007）中使用的數(shù)值相同。這意味著VEC模型對應(yīng)的VAR在水平上有3個滯后期。由于ca.jo函數(shù)要求VAR模型的滯后階數(shù)，我們設(shè)置K=4。

在VECM中加入確定性項(xiàng)是一個巧妙的問題。一個常見的策略是在誤差修正項(xiàng)中加入一個線性趨勢，在方程的非協(xié)整部分加入一個常數(shù)，這個策略就不做贅述了。在這個例子中，我們遵循Lütkepohl（2007）的方法，在方程的非協(xié)整部分添加一個常數(shù)項(xiàng)和季節(jié)性偽變量。

cajo函數(shù)不僅僅是估計(jì)VECM，它還計(jì)算了方程的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。它還計(jì)算了r的不同特異性的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，用戶可以在兩種方法中進(jìn)行選擇，即跡檢驗(yàn)和特征值檢驗(yàn)。在這個例子中，使用了跡檢驗(yàn)，即type = "trace"。

1. # 估計(jì)

2. cajo(e6, ecdet = "none", type = "trace",...)

跡檢驗(yàn)表明，r=1，協(xié)整關(guān)系β和載荷矩陣α的第一列估計(jì)值與Lütkepohl（2007年，第7章）中ML估計(jì)的結(jié)果一致。

1. # Beta

2. round(vec@V, 2)

然而，模型中非協(xié)整部分的估計(jì)系數(shù)與EGLS估計(jì)的結(jié)果一致。

round(GAMMA, 2)

1. ## ? ? ?constant ?sd1 ?sd2 ?sd3 R.dl1 Dp.dl1 R.dl2 Dp.dl2 R.dl3 Dp.dl3

2. ## R.d ? ? ?0.01 0.01 0.00 0.00 ?0.29 ?-0.16 ?0.01 ?-0.19 ?0.25 ?-0.09

3. ## Dp.d ? ?-0.01 0.02 0.02 0.03 ?0.08 ?-0.31 ?0.01 ?-0.37 ?0.04 ?-0.34

由于使用了不同的參考日期，與Lütkepohl（2007）的結(jié)果不同。

脈沖響應(yīng)分析

VECM的脈沖響應(yīng)函數(shù)通常由其VAR形式獲得。

1. # 將VEC轉(zhuǎn)換為VAR，r=1。

2. vec2var(vec, r = 1)

然后用通常的方式計(jì)算脈沖響應(yīng)函數(shù)。

1. # 獲得IRF

2. irf(impulse = "R", response = "Dp",...)

請注意，和平穩(wěn)的VAR模型的一個重要區(qū)別是，協(xié)整VAR模型的脈沖反應(yīng)不是必須接近零，因?yàn)樽兞渴遣黄椒€(wěn)的。

參考文獻(xiàn)

Lütkepohl, H. (2007).?New introduction to multiple time series analysis?(2nd ed.). Berlin: Springer.

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