很久沒寫專欄聊，今天水一篇專欄.昨天留了一道思考題給自己，也給諸位感興趣的讀者：

這道題如何找到切入點(diǎn)呢？這還得從我推導(dǎo)“橫波傳播的波形圖解析式”開始講起...

我們就先來看這個(gè)問題：推導(dǎo)橫波傳播的波形圖解析式？

在高中物理機(jī)械運(yùn)動(dòng)板塊，“某一處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像”和“某一時(shí)刻機(jī)械波的波形圖”是兩個(gè)很容易混淆的圖！

他倆長得很像(易混淆的原因)，反映的信息卻不同。

先來解釋不同之處：

其中前者可比作“拍電影”，即對(duì)某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行錄像，我們就可以得出每一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的位置；

而后者可比作“拍照片”，即在這一時(shí)刻對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行拍照，我們就可以得出這一時(shí)刻所有質(zhì)點(diǎn)的位置。

再來解釋相近之處：兩圖像都是正/余弦型三角函數(shù)

其中振動(dòng)圖像在理論中需要用這一微分方程來推。

ps:至于方法的由來這里就先不贅述了...

利用線性微分方程的特征根法可解得：，將初位移和初速度兩個(gè)初值代入即可解得，從而求出的表達(dá)式

但不論初值如何，(即通解)的性質(zhì)可確定是三角函數(shù)，我們可以利用輔助角公式將表達(dá)式化為：，其中

由此我們可以得知簡諧運(yùn)動(dòng)的解析式是正/余弦型三角函數(shù)，且振動(dòng)周期為

這便是振動(dòng)圖像的性質(zhì)。

推導(dǎo)完振動(dòng)圖像，我們?cè)賮砜床ㄐ螆D的解析式。

首先要明確概念：橫波傳播時(shí)質(zhì)點(diǎn)不隨波遷移，傳播的只是振動(dòng)形式。也即后面的質(zhì)點(diǎn)是被前面的質(zhì)點(diǎn)“帶動(dòng)”起來的，或者理解為“緊接著模仿前者”。

明白了這點(diǎn)我們就可以推導(dǎo)出波形圖解析式了。

設(shè)原點(diǎn)處為波源，一質(zhì)點(diǎn)從t=0時(shí)刻開始振動(dòng)，振動(dòng)解析式為：

波向右傳播，波速為

取時(shí)刻來研究波形圖：

我們先取首末兩個(gè)特殊點(diǎn)研究

振源處已經(jīng)振動(dòng)了，那么代入振動(dòng)解析式得，其在此時(shí)刻的位移為

另一方面，波傳播了的距離，那么此刻在最右端處的質(zhì)點(diǎn)剛開始起振

也就是比振源滯后時(shí)間后才開始起振。

我們要求此刻波形圖解析式，也即求出圖像的解析式。因此上文分析知，我們的關(guān)鍵是

找到位于處的質(zhì)點(diǎn)比振源滯后的時(shí)間！

取此刻處的質(zhì)點(diǎn)研究。波由原點(diǎn)轉(zhuǎn)至此處需要的時(shí)間為，也即該點(diǎn)比振源晚后才起振。因此此刻該處質(zhì)點(diǎn)的位移為

ps:其中為波的傳播時(shí)間，也是振源振動(dòng)的總時(shí)長；

為波傳播到x處所需時(shí)間，也是該處質(zhì)點(diǎn)比振源滯后振動(dòng)的時(shí)間;

因此為此刻x處質(zhì)點(diǎn)已經(jīng)振動(dòng)的時(shí)長

再代入振動(dòng)表達(dá)式即得此刻該點(diǎn)處的位移y

注意上面標(biāo)淺藍(lán)色的部分，這個(gè)函數(shù)中x是自變量y是因變量，即此刻波形圖的方程

限制下x的取值范圍，即

因此y-x的圖像也是正/余弦型三角函數(shù)

需要注意的是，這里的表達(dá)式中為參數(shù)，如果我們讓由0開始增加，那么波形圖就會(huì)不斷變長(但波長和振幅不變)，也即對(duì)這個(gè)y-x圖像向右平移，同時(shí)增大定義域。

ps:desmos的解析式如下：

看有人能在專欄中發(fā)動(dòng)圖我也想做幾個(gè)，但目前還不會(huì)所以就附上desmos的解析式讓感興趣者對(duì)照著輸入進(jìn)行研究了?？梢钥刂谱兞吭傺芯肯率Ｓ鄮讉€(gè)參數(shù)對(duì)波形圖的影響，以助于加深對(duì)正/余弦波性質(zhì)的理解。

另外，那個(gè)參數(shù)草率地用替代了

明白了這點(diǎn)，我們?cè)倏磶讉€(gè)類似的場(chǎng)景以熟悉這種(同一時(shí)刻)質(zhì)點(diǎn)排列圖的理解。

如：在雨后，一條(橫向)圓柱型扶欄上沾滿積水。

如果我沒表述清楚就請(qǐng)看圖，我說的就是最頂上的那條橫向圓柱

現(xiàn)敲擊該扶欄，則扶欄上的水由近到遠(yuǎn)以此低落(理想化為自由落體)，其中振動(dòng)形式傳播速度為，問t時(shí)刻這些雨點(diǎn)在空中的排布曲線？

以敲擊點(diǎn)為原點(diǎn)建軸，由于左右對(duì)稱，因此只需研究敲擊點(diǎn)右邊部分的圖像

取?時(shí)刻進(jìn)行研究

振動(dòng)形式由敲擊點(diǎn)傳到處所需時(shí)間為?，因此該點(diǎn)比敲擊點(diǎn)處雨滴晚?后下落，因此該點(diǎn)處雨滴已經(jīng)下落的時(shí)間為?

取向上為正方向，代入自由落體位移公式，有：?

因此該時(shí)刻(敲擊點(diǎn)右側(cè))排布曲線方程為：

?

由方程得知排布曲線是一條拋物線，其圖像如下：

當(dāng)?由0逐漸增大時(shí)，即對(duì)排布曲線向右平移，同時(shí)增大定義域。

ps:desmos的解析式如下：

另外，下面給出這個(gè)問題的拓展形式：

若一架飛機(jī)以速度?前行，其連續(xù)不間斷地向地面投擲物資【就不用炸彈這么血腥了( 】

問t時(shí)刻所有物資在空中的排布曲線？

這個(gè)問題答案比較簡單，但你能更深層次地推導(dǎo)出排布方程，那才算領(lǐng)悟了上文中求這種方程的內(nèi)核

后面想想還是先結(jié)尾吧，一是考慮到這些例題堆砌在一起顯得有些冗雜；二是考慮到阿B專欄中有限制公式/圖片個(gè)數(shù)的機(jī)制，因此這道題就先留給感興趣的讀者進(jìn)行思考，后續(xù)會(huì)再出一篇專欄續(xù)上講解分析~