上篇請見：

書接上回，我們來解決烷烴的計數(shù)問題。設(shè)n烷的數(shù)量為Bn，我們來尋找Un,Vn與Bn之間的關(guān)聯(lián)。

有些同學(xué)可能會想到：我若是將每一種n烷的每一個C原子分別視作特殊的，再累加起來，不就得到了nBn＝Un嗎？

這個思路看起來似乎是沒錯的，但忽略了去重的問題。請看：

這個丙烷，以1或2為特殊C原子，看上去都是一樣的。像這種C原子的關(guān)系稱為等價。所有彼此等價的C原子構(gòu)成一個集合，稱為一個等價類。例如，圖中1和2是等價的。并且有兩個等價類｛1，2｝和｛3｝。

我們需要知道的是等價類的數(shù)量。為此，還需引入碳鍵的等價類。定義是類似的。

對于一個烷烴，設(shè)碳的等價類有p個，鍵的等價類有q個，那么：

如果我們把只有一段連接碳鏈的C原子稱為1階C原子，它們所連接的C原子稱為2階C原子，連接1，2階C原子的鍵稱為1階碳鍵;2階C原子連接的，且不是1，2階C原子的C原子，稱為3階C原子，連接2，3階C原子的鍵稱為2階碳鍵……以此類推，可以給每個原子和鍵分階。

我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：兩個n階C原子等價當(dāng)且僅當(dāng)它們所連接的n階碳鍵等價;而且等價的C原子必然同階。

這樣一來，我們就在C原子等價類和碳鍵等價類之間構(gòu)建了一一對應(yīng)。如果說只含一個元素的等價類是平凡的，那么非平凡的C原子等價類和碳鍵等價類數(shù)量相等。

如果一個烷烴中有x個非平凡的等價類，其中的C原子/碳鍵有y個，那么p＝x+(n-y),q＝x+(n-1-y)，從而：p＝q+1

等一下！有些敏銳同學(xué)可能察覺到了問題：C原子和碳鍵的一一對應(yīng)一定成立嗎?兩個C原子有沒有可能對應(yīng)到同一個碳鍵?

事實上，這是有可能的。如果存在這樣的狀況，我們會發(fā)現(xiàn)這個碳鍵的兩側(cè)完全一致。在圖論中我們把這樣的鍵稱為對稱邊。既然是對稱的，我們就容易發(fā)現(xiàn)p＝q

把這兩式統(tǒng)一一下：p-q+s＝1.其中s在有對稱邊時為1，無對稱邊時為0.

對每一個烷烴我們都能寫出這樣的式子。把所有這樣的算式相加：Un-Vn+∑s＝Bn.

最后的問題就在于：∑s＝?

容易發(fā)現(xiàn)其等于所有對稱邊的個數(shù)。這樣的碳鍵兩側(cè)是兩個完全一致的烷基。從而，對一個n烷，對稱邊的數(shù)量就是n/2基的數(shù)量，∑s＝An/2.(特別地，n為奇數(shù)時，An/2＝0，畢竟這時對稱邊是不存在的)

這樣我們就得到了公式Un-Vn+An/2＝Bn.

讓我們以一個簡單的例子來回顧一下：

圖中，C原子等價類有｛1,4｝，｛2,3｝.｛1,4｝對應(yīng)了等價類｛1'，3'｝，而｛2，3｝對應(yīng)了對稱邊2'.因此，p＝2,q＝2,s＝1,p-q+s＝1成立。

最后附一張Bn的計算表，我們終于完全解決了此問題，可喜可賀( ˙?˙ )

今天的組合計數(shù)小課堂就到這里，順祝學(xué)習(xí)進步( ˙?˙ )