如我發(fā)的視頻《微分幾何：它們相互垂直嗎？》，其中定義了所謂的非法線曲率。本文是這個(gè)視頻提出的問題的延續(xù)。所以不了解有關(guān)概念的也可以參考那個(gè)視頻。當(dāng)然，本文也會(huì)談到非法線曲率的定義。

圖一 如圖一，藍(lán)色的是一個(gè)球面，N為球面P點(diǎn)的法線。T為P點(diǎn)的球面切線。Nn為非法線，它通過P點(diǎn)，但并不與P相切或與P點(diǎn)的切平面垂直。我稱呼它為非法線。當(dāng)然，P點(diǎn)的非法線有無數(shù)條。我們隨便找一條進(jìn)行討論。 Nn與T張成的平面就是上圖中的綠色平面，它與球面相交就會(huì)形成相交線C。C顯然平面去嫌棄。并且它一定是圓。 P在不同的方向有不同的T，假設(shè)Nn不變，不同的T就對(duì)應(yīng)著不同的綠色平面及不同的C。 不同的C在P的曲率被暫且稱為非法線曲率。這與法線曲率顯然是不同的。 顯然，不同的 T所對(duì)應(yīng)的非法線曲率是不同的。其中有最大的曲率和最小的曲率。我前面的視頻是問，這兩個(gè)曲率對(duì)應(yīng)的T相互垂直嗎？

圖二 如圖二，粉紅色的是P點(diǎn)的切平面。黃色的平面為N與Nn張成的平面。我們可以設(shè)這個(gè)平面為β。β與切平面的相交線是DE。 我們規(guī)定DP為零度線。用右手定則，拇指平行于N，順?biāo)膫€(gè)手指轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為正，反之的角度為負(fù)。這樣我們就可以確定切線的角度。Nn與DE的夾角為仰角，也是右手定則規(guī)定正負(fù)。這樣我們就有了局部坐標(biāo)系。 假設(shè)切線與零度線的角度為φ，Nn的φ為π，仰角為θ。那么，我們就可以計(jì)算不同的T對(duì)應(yīng)的非法線曲率了。同時(shí)我們也可以計(jì)算出最大的非法線曲率和最小的非法線曲率了。 顯然，當(dāng)切線T垂直于Nn時(shí)，非法線曲率是最大的，而當(dāng)切線T與DE重合時(shí)，非法線曲率是最小的。所以最大與最小的非法線曲率的T是垂直的。 那么，對(duì)于一般曲面，任意光滑曲面，比如馬鞍面，是不是也是如此呢？它們還是互相垂直嗎？ 另外，非法線曲率與法線曲率的關(guān)系是什么？非法線曲率對(duì)認(rèn)識(shí)曲面有什么意義？ 你neng