每周一題：丟失的襪子（附上周答案）
本期題目：丟失的襪子
題目來源：new scientist
大老李的洗衣機會“吃”襪子，每洗一次后，總是會丟一只襪子（大老李深有體會?。Ｉ现?，大老李丟了所有襪子，只好新買了三雙。每次我總是把所有襪子丟進洗衣機一起洗。
那么，洗過三次之后，剩下三只單獨襪子的概率是多少？或者說，大老李剩下至少一雙完整的襪子的概率是多少？
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加餐題：立方體的最大投影面積
題目來源：new scientis
大老李閑來無事，拿了一個骰子在太陽底下玩，我發(fā)現(xiàn)這個骰子在地面上能投下的陰影最小面積是一個正方形，面積為1平方米。
請問：這個骰子能在地面投下的陰影面積最大是多少？
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上周題目：書本的排列
書架上有六本數(shù)學書，六本語文書，四本英語書。每種科目的書都是一樣的。問：把他們從左到右排成一排，共有多少種不一樣的排法？
答案: 1681680 。
一種思路是先計算所有16本書的全排列數(shù)，為 16!。
在以上計算中，再去除其中重復計算的次數(shù)。考慮到有6本數(shù)學書，全排列數(shù)為6!，則排除因數(shù)學書排列造成的重復，應將16!除以6!。
同樣思路，則可知總的排列數(shù)為：
16! / (6! * 6! *? 4!) =1681680
上期加餐題：德國坦克問題
二戰(zhàn)中，英軍情報人員得知，德國人生產某一批次坦克時，會對每一輛坦克進行標號，編號范圍從1到N。某次，前線人員俘獲德國某同一批次坦克四輛，其編號分別為：19，40，42，60。為這一批次，德國人最可能生產了多少量坦克？提示：此題用數(shù)學語言描述是：從1到N個數(shù)字中，進行4次隨機（不重復）采樣，得到19，40，42和60這四個數(shù)字，問：如何估計N的大??？
答案：這是一道經典問題 ，很多朋友采用“期望值”估計法，即：
因為樣本均值為40.25，而總體均值為(1+N)/2，因此可以推出N≈79.5.
但實踐中更準確的是“頻率論”的方法，記m為最大序號，k為采樣次數(shù)， 則估計公式為：
按“貝葉斯分析”，則可求出N的估計函數(shù)為：
則可以得出以下估計：
此題內容并非杜撰，而是歷史史實。以下摘自“維基百科”：
在戰(zhàn)爭的過程中，西方盟國一直在努力確定德國的生產速度，并以兩種主要方式得到這個數(shù)據(jù)：常規(guī)情報收集和統(tǒng)計估計。大部分情況下，統(tǒng)計估計的可信度很大程度上決定于常規(guī)情報收集。而有時常規(guī)情報收集會和統(tǒng)計估計一起結合使用，如在D日前夕估計豹式坦克的生產速度。
盟軍指揮機構已經注意到了出現(xiàn)在意大利的[五號坦克]（豹式坦克），速度快，裝備有75 mm/L70長管戰(zhàn)車炮，是很不尋常的重型坦克，但在法國北部編號就很小，就和[虎I坦克]在突尼斯那樣。由于[謝爾曼坦克]在對陣[三號坦克])和[四號坦克]時表現(xiàn)良好，美國陸軍對它非常自信，以至于迫不及待地希望與他們相遇。就在D日的不久前，有消息稱德國手中有大量的五號坦克。
為了確定這種說法的真實性，盟軍要嘗試估計正在生產坦克的數(shù)量。為此，他們要使用被繳獲或被摧毀的坦克的序列號。他們主要使用變速箱的號碼，因為其為兩個完整的序列。底盤和發(fā)動機號碼也有使用，但它們的編號規(guī)則比較復雜。各種其他的零件用來對分析結果進行交叉檢查。對輪胎也做了類似的分析，其上觀察到了順序編號（即1、2、3、……、N)。
對坦克車輪的分析產生了對使用中的車輪模具數(shù)量的估計。在與英國車輪制造商討論過后，他們估計了這么多的模具可以生產多少車輪，進而是每個月可生產的坦克數(shù)量。對兩輛坦克（每輛32個車輪，總計64個車輪）車輪的分析的結果是1944年2月的生產數(shù)量估計在270左右，大大超出此前預期。
德國戰(zhàn)后公布的記錄顯示，1944年2月一個月的生產量是276輛。統(tǒng)計方法結果的精確度是常規(guī)情報收集方法所遠遠不能達到的，而“德國坦克問題”這個詞也成為了這種統(tǒng)計分析問題的標志。
估計產量并不是這種序列號分析的唯一應用。它也用于探查更多德國生產的信息，包括工廠數(shù)目、工廠的相對重要性、供應鏈長度（基于生產和使用之間的滯后程度）、生產工藝的改變、及對諸如橡膠等資源的使用。
大老李考慮將來用音頻專門講解一次這個話題。
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