牛頓264、歐多克索斯將窮竭法建立在無限分割潛在可能性的基礎(chǔ)上

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窮竭法（百度百科）：…

…窮、竭（jié）、窮竭，法，窮竭法：見《牛頓245》…

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一般認為是歐多克索斯在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)造了窮竭法，首次用于數(shù)學(xué)證明，并取得了最初的成果。

…工、作、工作：見《伽利略22》…

（…《伽利略》：小說名…）
…基、礎(chǔ)、基礎(chǔ)：見《歐幾里得37》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…創(chuàng)、造、創(chuàng)造：見《歐幾里得152》…

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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歐多克索斯是被他的同時代人譽為神明似的人。他的著作沒有流傳下來，所幸歐幾里得將其成果收入了《幾何原本》中。

…歐多克索斯：見《牛頓251~263》…

…《幾何原本》：見《歐幾里得》…

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《幾何原本》第Ⅻ篇中的一些命題是屬于歐多克索斯的。

…Ⅻ：羅馬數(shù)字12…

…命、題、命題：見《歐幾里得70》…

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歐多克索斯一掃安蒂豐對割圓的樸素模糊甚至是錯誤的觀念，而將窮竭法建立在無限分割潛在可能性的基礎(chǔ)上。

…安蒂豐：見《牛頓246》…

…樸素：見《歐幾里得165》及《牛頓250》“素樸”…

…錯、誤、錯誤：見《歐幾里得193》…

…無、限、無限：見《牛頓202》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

…基、礎(chǔ)、基礎(chǔ)：見《歐幾里得37》…

他并沒有使用諸如“無限”、“（圓與正多邊形）相合”之類的字眼。正由于此，有的數(shù)學(xué)史家認為“窮竭法避開了‘無限’這個陷阱”。

…史：見《歐幾里得111》…

…家：掌握某種專門學(xué)識或從事某種專門活動的人：專～。畫～。政治～?？茖W(xué)～。藝術(shù)～。社會活動～…見《歐幾里得92》…

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應(yīng)該指出，窮竭法所避用的只是實無限罷了，這不僅因為當(dāng)時缺少處理實無限的手段，還由于亞里士多德在評述當(dāng)時數(shù)學(xué)家的觀點時所說：事實上，他們不需要無限（暗指實無限），也不使用無限。他們只是假定有限的直線能隨意延長而已。

…事、實、事實：見《歐幾里得6、7》…

因此，從證明的需要來說，只要有這種無限（暗指潛無限）也就夠了。

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[潛無窮與實無窮？——網(wǎng)友提問

“潛無窮是什么啊。

書上說是指無限過程，那比如自然數(shù)1 2 3這樣一直數(shù)下去沒有盡頭，這就是潛無窮咯。

那如果將所有自然數(shù)看成一個整體，看成一個實在的無窮集合，這就是實無窮。

那也就是說，自然數(shù)集里有潛無窮過程咯，對吧?！本W(wǎng)友補充道。

…集、合、集合：見《歐幾里得31》…

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東海陽晨：數(shù)學(xué)上的實無窮思想是指：把無限的整體本身作為一個現(xiàn)成的單位，是已經(jīng)構(gòu)造完成了的東西，換言之，即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。

…思、想、思想：見《歐幾里得154》…

按照此觀點，所有的自然數(shù)可以構(gòu)成一個集合，因為可以將所有的自然數(shù)看做是一個完成了的無窮整體。

康托的樸素集合論就是建立在實無窮的基礎(chǔ)之上的。

舉個形象點的例子就是，一條線段上的點有無窮個，但是這條線段本身又是有限的。
…形、象、形象：見《歐幾里得23》…

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數(shù)學(xué)上的潛無窮思想是指：把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著、成長著、被不斷產(chǎn)生出來的東西來解釋。

它永遠處在構(gòu)造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。

把無限看作為永遠在延伸著的（即不斷在創(chuàng)造著的、永遠完成不了的）過程。

按照此觀點，自然數(shù)不能構(gòu)成為一個集合，因為這個集合是永遠也完成不了的，它不能構(gòu)成一個實在的整體，而是永遠都在構(gòu)造之中。

舉個形象點的例子就是，構(gòu)成一條直線的點有無窮個，并且這條直線永遠延伸著，不會有終結(jié)的一天。

——《牛頓209》]

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歐多克索斯的這種潛無窮觀有其哲學(xué)淵源。

…觀：見《歐幾里得12》…

…哲、學(xué)、哲學(xué)：見《歐幾里得110》…

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在希臘哲學(xué)中，潛無窮觀念的初次表白是智人學(xué)派的安納薩戈拉斯（Anaxagoras，約499 B．C．～427 B．C．）作出的。

…智人學(xué)派：有時又稱“哲人學(xué)派”…見《牛頓246》…

…安納薩戈拉斯一般指阿那克薩戈拉…

…阿那克薩戈拉：見《牛頓248》…

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安氏認為萬物都可以無限地分割。

他以抽象的形式分析分割過程，而不管施行此過程的實際上的可能掛。

…抽、象、抽象：見《歐幾里得20、21》…

…形、式、形式：見《歐幾里得13》…

…分、析、分析：見《歐幾里得36》…

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

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安氏將無限分割看作是潛在地可能實現(xiàn)的過程。

歐多克索斯正是吸收了安氏思想的合理內(nèi)涵。

…思、想、思想：見《歐幾里得154》…

…合、理、合理：見《伽利略21》…

…內(nèi)、涵、內(nèi)涵：見《歐幾里得101》…

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“作為一種嚴格的證明手段，窮竭法曾起過相當(dāng)大的作用，但其局限性也是明顯的。

首先是它建立在幾何直觀基礎(chǔ)上的雙重歸謬證明是煩瑣的，因而給應(yīng)用帶來了困難。

其次它并不是一種適于發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的方法。

從發(fā)展眼光看，它必須進行修改以使其更為實用和簡便。

請看下集《牛頓265、窮竭法邏輯上的優(yōu)美、與希臘幾何形式的不必要的煩瑣》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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