前言

太陽能板，作為游戲內(nèi)最早一批發(fā)電建筑中的一員，圍繞其的討論一直不斷。每當有萌新問起前期什么發(fā)電方式比較好的時候，太陽能發(fā)電一直是大家推薦的熱門選項之一。同時，當玩家們認真分析起究竟誰是最高效的前期發(fā)電方式時，卻很難得出一個讓所有人都信服的結(jié)論。這是因為截至這篇文章為止，從未有人定量準確地分析過太陽能板的實際發(fā)電效率，沒有數(shù)據(jù)支撐，大家的討論就多了許多主觀色彩，難以服眾。故而本文通過解包太陽能發(fā)電公式并進行一定的分析計算得出了對不同軌道傾角的星球、不同緯度的年均日均、最低日均發(fā)電效率等有助于玩家直觀理解太陽能板效率與參考太陽能板選址的結(jié)論。

若要跳過概念描述與推導過程只想知道游戲內(nèi)的太陽能板的正確擺法，則可以直接看正文的第五部分結(jié)論。

正文

目前游戲內(nèi)的太陽能板發(fā)電公式如下：

上式中，360kw則是太陽能板的額定功率，如果以后出了其它類型的太陽能發(fā)電建筑則可能替換為其它值

光能利用率在每顆星球的面板上都有，不同星球不一樣。恒星光度越高、行星軌道半徑越小，光能利用率就越高。

定義太陽直射系數(shù)的符號為k，則某處的太陽直射系數(shù)k滿足：

其中，θ為此時太陽能板所在地的太陽高度角。所謂太陽高度角，即太陽光與地平面的夾角（如下圖）：

在此我稍微拓展一下太陽高度角的定義，當太陽在地平面以下(夜間)時，太陽高度角依舊為太陽光與地平面的夾角，只不過符號為負。

有了精確的發(fā)電公式以后，我們就可以計算一下幾個玩家可能感興趣的問題的答案：

一、球均發(fā)電效率

如果一個玩家對于應該如何鋪設太陽能板沒有絲毫頭緒而亂鋪一通，那么他每塊太陽能板的日均發(fā)電量是多少？

要解決這個問題，我們可以直接直觀地考慮如果一顆星球上鋪滿太陽能，那么平均下來每個太陽能板的發(fā)電量是多少。以下是分別從太陽直射點正背面視角、晨昏線視角與斜視圖視角下的各地太陽能板發(fā)電效率平行投影熱力圖。

可以看到，在晝半球，基本所有地區(qū)的太陽直射系數(shù)都接近1，在夜半球，有20°左右的區(qū)域太陽直射系數(shù)大于0。要計算具體的球均直射系數(shù)，可以把星球范圍分成如下3份：

如圖，亮黃色分割線昂上的部分是太陽能板的滿功率工作區(qū)，亮黃色到紅色分割線之間的是太陽能板的非滿功率但可工作區(qū)，黑色區(qū)域是不工作區(qū)。要求太陽能板的球均工作效率，實際上是求全球太陽直射系數(shù)對面積的積分與球面面積的比值。在滿功率工作區(qū)的太陽直射系數(shù)為1，不工作區(qū)的太陽直射系數(shù)為0，所以公式又可換為：

即有以下等式：

其中，k拔(bar)為球均直射系數(shù)，α與β在圖1.3中已標出，若將星球此時看做是北極指向太陽的橫躺自轉(zhuǎn)行星，則α與β分別是兩個分割線所在的緯度的值(南半球緯度為負)。將α與β帶入

求得球均直射系數(shù)約為0.571449。即對于一顆鋪滿太陽能板的星球，它的太陽能板總發(fā)電量≈0.571449×太陽能板數(shù)量×光能利用率×360kw。對于一顆光能利用率為100%的星球來說，隨機位置的一個太陽能板的年均發(fā)電功率期望值約為205.72kw。

當然，這也只是理論值，實際使用藍圖的時候太陽能板的位置是離散陣列而非真正均勻布滿整個球面的點集，再加上一個太陽能板站3格緯線間隔，而星球上從南極到北極一共500格緯線間隔，本身就無法整除，再加上極地由于相鄰建筑朝向夾角較大可能導致無法密集鋪設的問題。所以實際會和理論有所出入，同時不同的藍圖可能會有不同的實際值。游戲中實測某一全球太陽能板的球均直射系數(shù)為0.57109，與理論值有0.06%左右的相對誤差，預計各種盡可能均勻的藍圖相對誤差不超過0.1%。

二、固定緯度太陽能環(huán)的年均發(fā)電效率

為了追求發(fā)電量的穩(wěn)定，玩家們往往會在鋪設太陽能時直接鋪滿同緯度的全部地區(qū)，根據(jù)緯度的高低、分為俗稱的“太陽能腰帶”、“太陽能帽子”、“太陽能圍巾”等。那么，在哪個緯度鋪設太陽能可以在相同的耗材和占地的情況下達到盡可能高的發(fā)電量呢？

稍微利用一些立體幾何知識進行分析計算，當有一定黃赤交角的行星圍繞恒星公轉(zhuǎn)，同時進行自轉(zhuǎn)運動時，可以得出以下兩個結(jié)論：

定義符號：

則有

具體過程只要稍微畫個圖算算就能得出，在此就不贅述(才不是嫌電腦畫圖麻煩呢)

由于游戲內(nèi)任意時刻星球公轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)角速度恒定不變，對于A緯度(A=180*(π/2-γ2)/π，北緯正南緯負)在特定公轉(zhuǎn)相位(時令)t1下的日均太陽直射系數(shù)，即為這一維度上某點的太陽直射系數(shù)對自轉(zhuǎn)相位(時辰)t2在[0,2π]上的積分/2π。而年均日均太陽直射系數(shù)即為日均太陽直射系數(shù)對一年公轉(zhuǎn)相位t1在[0,2π]上的積分/2π。以公式表述即：

這是對一個分段函數(shù)的二重積分，而且隨著γ1和γ2的不同還要分類討論，如果要寫成一個公式那么它在其中一種情況下的表達式如下：

能解決這個積分的要么是積佬要么是電腦，顯然，我不是前者，就只能寫個程序讓電腦模擬積分結(jié)果了。

最終得到的不同黃赤交角的情況下在不同緯度地區(qū)的年均太陽直射系數(shù)如下：

圖中，最上面的一橫排數(shù)字代表太陽能板所在的緯度，為了方便展示，這邊以5°為間隔做了從極點到赤道的各緯度的情況。而最左邊的一列代表行星的黃赤交角。

可以看到的是，黃赤交角越大，極地的年均太陽直射系數(shù)越小，赤道的年均太陽直射系數(shù)越大。并且在"緯度=100°-黃赤交角"的地區(qū)附近是星球上年均太陽直射系數(shù)最大的區(qū)域。

所以當有人問起“太陽能板放在哪里可以使一年下來的總發(fā)電量最高”，答案既不是赤道也不是極地，而是100°-黃赤交角的值對應的緯度。

同時，這個圖上也可以看出很多信息，比如對于黃赤交角幾乎為0的行星，其極地的太陽能日均發(fā)電量比起赤道出要超出50%以上，而對于橫躺自轉(zhuǎn)的星球，年均太陽直射系數(shù)最高也就60%，并不適合作為太陽能板的鋪設地點。

三、覆蓋到某緯度的“太陽能帽子”的年均直射系數(shù)

對于自己針對自身存檔創(chuàng)建的藍圖，應如（二）中所說放在星球100°-黃赤交角附近的緯度帶。然而從通用性上來講，大多數(shù)人可能還是更習慣稍微放棄一點最大化接受效率的追求而是直接用一套更為泛用方便的極地太陽能藍圖。那么如何判斷某緯度的極地太陽能藍圖的發(fā)電量也成了需求之一。從極地到某一緯度的太陽能日均直射系數(shù)即為各維度的日均直射系數(shù)對這一維度區(qū)域面積的積分。不過由于計算復雜度過高，所以這邊采用比較粗糙的區(qū)域上下邊界的平均值*區(qū)域面積的方式，將星球以每5°分割一份然后分別計算各個區(qū)域的年均直射系數(shù)再相加后除以總面積，得到下表：

這樣就能看出，對于極地太陽能來說，黃赤交角越小年均太陽直射系數(shù)越大。并且從極地到赤道鋪滿太陽能時，這種計算方式的結(jié)果值為0.571~0.572，與(一)中理論值的誤差不超過0.1%，為了驗證這種粗算方式的精準程度，我還直接用高緯或低維處年均太陽直射系數(shù)替代區(qū)域太陽直射系數(shù)得出了極地到某緯度的年均太陽直射系數(shù)的上界和下界，若將圖全部放進來可能顯得有點雜亂，這邊只簡單介紹一下結(jié)論，粗算的上下界之間的絕對誤差不超過0.01.具體的表格結(jié)果我已放在《戴森球計劃數(shù)值計算統(tǒng)計》[1]中。

四、覆蓋到某緯度的“太陽能帽子”的最低球均直射系數(shù)

考慮到在實際使用太陽能作為主要發(fā)電方式時，在不使用樞紐的情況下(至于為什么不使用樞紐，是因為樞紐實際上無論是從耗材還是占地還是對性能的消耗來說效果都不是很好。至于不好在哪要詳細講的話可能得到時候再寫一篇新文章講，也不一定真的會講就是了)我們實際上能利用到的太陽能發(fā)電量并非其年總發(fā)電量。只有放置過量的工廠讓產(chǎn)線始終處于缺電狀態(tài)時才意味著我們用上了太陽能發(fā)的所有電。然而，放置過量工廠實際上變相相當于減少了工廠建筑的工作效率，屬于是用建筑使用效率換太陽能板使用效率，實際上也只是拆東墻補西墻的解決方案。并且將產(chǎn)能交由太陽能板的發(fā)電量決定的話就會導致產(chǎn)能不均衡，各種設計星際運輸?shù)奈锲范夹枰胖米銐虻膫}儲來應對產(chǎn)能的旺季和淡季，防止淡季時其它星球工廠因為缺少這個物品停工，旺季時其它星球工廠消耗速度更不上、中間倉儲的緩沖也不夠?qū)е庐a(chǎn)物堆積無法達到預期產(chǎn)能。而在使用混合電力時燃料類電力會根據(jù)電網(wǎng)占用率決定消耗燃料的速度，當太陽能板發(fā)電量過剩時實際上仍然相當于占用率以外的電量都沒能得到充分利用。所以直接考慮年均發(fā)電量實際上是一個比較理想化的算法，在沒有建議的充分利用富余電量的方案之前為了能保持時長藍電，我們可能更多需要關(guān)注的是太陽能環(huán)的最低日發(fā)電量。

當行星存在一定大小的黃赤交角時，對星球上從極地開始鋪設到某緯度、南北對稱的太陽能帽子來說，球均發(fā)電量最高的時刻是春秋分，最低的時刻是冬夏至。(考慮再三，還是不放證明過程了。因為我構(gòu)思的證明涉及到許多臨時構(gòu)造的概念，描述和讓讀者理解起來比較麻煩，而且估計寫了也沒人看，愿意看的人也愿意自己想。這里還是推薦大家自己思考證明，如果有疑問可以再在評論區(qū)里直接問。這里可以給出一個證明思路相關(guān)的提示：1.注意南北半球同緯度在公轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)過程中的對稱性。2.考慮太陽高度角互為相反數(shù)的地區(qū)的太陽直射系數(shù)之和(從晨昏線向兩邊遞減)。由對稱性，和為1的部分可以忽略，大于1的部分是球均太陽直射系數(shù)>50%的實際貢獻者，我們可以暫時將它稱作"邊界增益區(qū)"?？紤]直射點緯度增大時極地太陽能和這部分邊界增益區(qū)和的交集變化情況。)于是，將之前的“某緯度年均日均太陽直射系數(shù)”公式中的t1鎖定為π/2即可得到“某緯度的最低日均太陽直射系數(shù)”，然后再對維度進行積分即可得出下標。而春秋分時的發(fā)電量其實也等同于黃赤交角為0的星球的最低日均發(fā)電量，于是下面這一表實際上既可以當做是不同規(guī)模的極地太陽能在不同黃赤交角的星球上的最低日均太陽直射系數(shù)，也可以看做是橫躺自轉(zhuǎn)星球一年的日均太陽直射系數(shù)變化。

可以看到，在最嚴重的情況(橫躺自轉(zhuǎn))下，即使是不同時令中日均直射系數(shù)上下界差額最小的赤道太陽能腰帶，當鋪設在橫躺自轉(zhuǎn)行星上時最高(0.857)和最低(0.546)直射系數(shù)之間也相差了50%以上。且如果軌道傾角>90°-極地太陽能鋪設的最低緯度+邊界增益區(qū)范圍(約23°左右)，極地太陽能就會在冬至或夏至時進入一半太陽直射系數(shù)為1另一半為0的平均直射系數(shù)0.5的局面。

五、總結(jié)與太陽能選址建議

5.1 可以自己選址的情況

其實從上面幾個表格中就可以看出，當星球的黃赤交角較小時，極低太陽能板的年均甚至是年最低日均直射系數(shù)還是比較可觀的。比如對于黃赤交角接近0°的行星來說，從極地一直鋪到南北緯60°的太陽能帽依舊有2/3以上的最低日均直射系數(shù)，這意味著有的時候其實可以不用強求潮汐鎖定的行星來放置太陽能板。比如以下兩顆行星：

分析那顆星球適合安放大量太陽能板渡過前中期發(fā)電的時候，除了看是否是潮汐鎖定，還需要看的星球面板屬性就是紅框中的兩行屬性。一是光能利用率，二是軌道傾角。比如上邊左右兩顆星球面板，左側(cè)是潮汐鎖定，所以合適安放太陽能板的話太陽能板的年最低日均光能利用率就是101%。而右邊軌道傾角接近0，查表可得，假設鋪設極低太陽能直到南北緯60°的區(qū)域(兩極大約共4800個太陽能板，發(fā)電量1.74*光能利用率GW，作為只負責前期本地工廠的電力來源搓搓有余了)，則年最低日均光能利用率為171%*67.1%≈114.74%。實際上同數(shù)量太陽能板的最低日均發(fā)電量還大于左邊的潮鎖星球?？偨Y(jié)一下：光能利用率越高越好，潮鎖優(yōu)先但有時也可能會給光能利用率讓步，地軸傾角(黃赤交角)越小越好。順帶一提，具有潮汐鎖定、軌道共振特質(zhì)的星球，在代碼里隨機生成時會以一定比例減小軌道傾角，而就如上圖一樣光能利用率較高的星球顯示的數(shù)字也是黃字，所以有時候也可以直接從黃字快速辨別一顆星球是否適合作為靠太陽能發(fā)電的工廠(軌道共振終于站起來了)。而帶有橫躺自轉(zhuǎn)的行星由于其不論何種緯度的年最高最低日均太陽直射系數(shù)差值都過大、且由于變化的太陽直射點緯度無法將邊界增益區(qū)長時間內(nèi)集中在某一緯度，故而并不適合太陽能。（題外話，同樣需要考慮太陽高度角的另一種建筑——接收站則不同，由于接收站的暖機加成特性，如果放全球接收站則大部分地區(qū)常年處于極晝極夜狀態(tài)的橫躺自轉(zhuǎn)星球的期望產(chǎn)能高點。不過成熟的玩家一般都選擇做大半徑戴森殼+帶透鏡極地密鋪接收站，技能保證效率又能滿足需求還不會那么卡）

雖然上文講過了，但是為了讓直接跳到這里的人也能看到，這里再說一下光能利用率的相關(guān)因素，恒星光度越高、星球距離恒星越近，光能利用率就越高。知道這個因素尋找合適星球的時候就不必去找一些低光度的恒星，比如上圖中左邊實際上就是一顆M星最內(nèi)側(cè)軌道的星球，右邊則是藍巨的行星。實際上一般推薦找一顆合適的O星，O星最內(nèi)側(cè)行星光能利用率一般在150%以上，且資源豐富奇珍充足，同時也是造戴森球產(chǎn)光子的好選址之一，大后期可以直接無縫拆太陽能換接收站。

5.2?我莫得選擇...

有的時候并非是我們可以按照太陽能板效率的喜好來挑選星球的，而是由于一些其它原因而不得不把工廠放在這顆星球上。這顆星球可能光能利用率等屬性算是太陽能板能用但不突出得好用的情況。粗算一下，本地用太陽板發(fā)電效果也勉勉強強說得過去，從極適合太陽能板的星球搬電池過來可能還不如直接本地放太陽能板。這種時候應該把太陽能板放在什么位置呢？

這種時候如果追求最高的平均發(fā)電量，那就是圍繞著100°-地軸傾角附近的緯度區(qū)域開始往兩邊鋪設太陽能板了。同時可以考慮優(yōu)先往靠近赤道一點的地區(qū)鋪設，因為那樣冬夏至的平均直射系數(shù)會更高些。

后記

有了這篇文章的結(jié)論背書，太陽能板實際效率的面紗就又被揭開了一步。但是想要精準量化太陽能的期望發(fā)電量依舊是一件比較困難的事，因為這還涉及到星球光能利用率等因素的影響。對于一些特挑的種子，確實也很容易找到母星系有潮鎖+高光能利用率的開局。但是加入這個條件同時也意味著在挑種子的時候要部分放棄一些其它條件。比如就沒有三衛(wèi)星+潮鎖+可燃冰+氣巨開局的種子。或者有一些前期其它因素過得去的帶潮鎖的種子后期十分不方便。而根據(jù)這一篇文章的結(jié)論，其實潮汐鎖定也不是那么重要的特質(zhì)。包括挑選硬飛種的時候也不用太在意內(nèi)側(cè)行星中是否有潮汐鎖定。

另外，本文在前言中提到的“最適合前期的發(fā)電方式由于缺少太陽能實際發(fā)電效果的定量結(jié)論而通常充滿主觀音色”。實際上就算得出來太陽能實際發(fā)電效果的具體計算方法這個議題也避不開一些主觀因素，因為這之中涉及個人習慣和喜好的問題。不同發(fā)電方式的優(yōu)劣并不能放在同一維度進行比較。從占地角度講太陽能的發(fā)電密度可能還不如火電，從卡頓角度講大量鋪設太陽能造成的性能開銷也挺大的。但是太陽能好在省心，放著就可以一直發(fā)電，即使前期沒有很好的規(guī)劃、在生產(chǎn)或點科技的路上走了不少彎路，也不用擔心資源不夠?qū)е掳l(fā)不了電的問題。不過在極難模式下部分種子母星系可能一共只有4w硅礦，造建筑飛船去掉千把個處理器后如果不考慮增產(chǎn)劑噴涂剩下的只有4k處理器的量，考慮到紫糖需要不少的處理器和晶格硅且是解鎖翹曲科技的必要材料，就算舍煤救硅對每一步涉及硅的生產(chǎn)制造都是用噴涂增產(chǎn)，也需要精打細算，所以不建議在極缺硅種大量生產(chǎn)太陽能板。

說到底，其實不論是用什么發(fā)電方式，如果預先有明確的目標做好量化都不會缺資源導致嚴重的后果。每種發(fā)電方式都有它的特征，而了解這些特征并設計使用方案也是游戲的內(nèi)容之一。比如火電大停電的問題，這可以通過關(guān)注爪帶承載量、礦物最大與保底開采量、電網(wǎng)理論最大需求這幾方面來解決。又比如瘋狂擴產(chǎn)導致白糖搶黑棒光子之類的問題，可以通過設置物流塔起送量來達到模擬優(yōu)先級的效果等等。。。于是，關(guān)于前中期用什么方法發(fā)電，我個人的建議是：

1)用核電：可控聚變、人類邁向星辰大海的第一步，科幻感拉滿。同時，分餾塔作為游戲中用法獨特的建筑，被賦予了“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)樂”的美稱，體驗自己制造大規(guī)模的重氫分餾基地才算完整體驗過了游戲。且后期戴森球發(fā)電量逐漸上漲可以逐漸用小太陽作為發(fā)電方式后擴產(chǎn)火箭時不需要拆除氘棒產(chǎn)線，可以直接將氘棒作為火箭制造的原料輸入。

2)用太陽能：穩(wěn)定省心，具有量大管飽的暴力美學；使用可再生能源，環(huán)保主義者狂喜。鋪下去就不用管，電腦爆炸前都能持續(xù)發(fā)電，看著星球上一大片一大片的太陽能，心里滿滿成就感。

3)用火電：簡單粗暴、游戲開局傳下來的傳統(tǒng)藝能。材料簡單易造，非常前期就可以大批量制造。強者從不抱怨環(huán)境，管你光能利用率多少、星球有沒有大氣，我tm巨星抽抽抽，火電燒燒燒。既然想出了不會大停電擺法，那必然要瘋狂爆鋪、一雪前恥。

4)用帆電：不忘初心，我們的目標是戴森球、現(xiàn)在我們已經(jīng)邁出了第一步！太陽能板搶植物陽光、風能化動為熱增熵、算什么環(huán)保，我太陽帆接收本將散逸到宇宙中的射線才是真環(huán)保！后期無縫銜接戴森球，帆照樣打，火箭照樣射，接收站直接從直接發(fā)電轉(zhuǎn)光子，啥建筑都不浪費。前期可以用上一直用不上的石頭，堪稱最方便過渡、最直接環(huán)保。

5)用風電：真正的傳統(tǒng)藝能！同樣可再生能源，造起來最簡單省事。長距離電網(wǎng)鏈接，連接兩地工廠時就是可發(fā)電的電線桿。距離限制了發(fā)電密度？大不了和太陽能交錯著放！給我一顆干旱荒漠，我能還你一個黃色刺猬頭。我tm鋪鋪鋪，全球都擺上風電，什么？你問我工廠放哪里？我就是喜歡看風電轉(zhuǎn)圈圈，不行嗎？

6）用地熱：地熱狗都不用。被人小瞧的發(fā)電建筑，發(fā)電密度不亞于火電，而且利用的是熔巖星上本來就不能利用的地區(qū)。讓人深惡痛絕的深溝溝，一轉(zhuǎn)發(fā)電寶地。解決不了對手，就把他變成隊友！發(fā)電的同時還可以起到電線桿的作用鏈接熔巖各地的電網(wǎng)。就是沒法用藍圖，對完美主義強迫癥來說用起來比較麻煩(近一點是127%，遠一點是131%，雖然近處發(fā)電少但我要是放近一點到時候能不能多塞一個呢？要是我放131會不會導致下一個131離得太近放不了只能放127呢？)

總之，什么發(fā)電方式都可以用，用自己喜歡的就好，推薦全部用一遍，獲得完整的游戲體驗。

資源鏈接：

[1] 《戴森球計劃數(shù)值計算統(tǒng)計》 https://github.com/DSPBluePrints/DataAnalysis/blob/main/%E6%88%B4%E6%A3%AE%E7%90%83%E8%AE%A1%E5%88%92%E6%95%B0%E5%80%BC%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%BB%9F%E8%AE%A1.xlsx