如果說唯一環(huán)是從形狀進(jìn)行拓展，那么接下來的結(jié)構(gòu)就是從數(shù)字進(jìn)行拓展。

Part 1 標(biāo)準(zhǔn)類型（XR Type 1）

如圖所示，它把唯一矩形變?yōu)榱巳龜?shù)的結(jié)構(gòu)了。雖然看起來和唯一矩形很相似，不過推理邏輯和唯一矩形就不太不一樣了。

如果r3c1只有1和5的話，我們將會(huì)得到r357c13這六個(gè)單元格有且僅有1、3、5。我們假設(shè)r357c1已經(jīng)填入了數(shù)字，就暫時(shí)假設(shè)為a1、a2和a3；同理，我們假設(shè)r357c3填入的數(shù)字是b1、b2和b3。

我們先不用去管具體這些字母都代表了什么數(shù)字，但我們可以將填入的數(shù)值進(jìn)行下標(biāo)相同的置換（說白了就是a1和b1交換，a2和b2交換，a3和b3交換），這樣可以讓數(shù)字對(duì)位替換到另外一邊，比如針對(duì)于r5c13而言，上述的交換就相當(dāng)于把原來r5c1填的數(shù)字替換到r5c3上去；而把r5c3的原本的填數(shù)換到r5c1上。

實(shí)際上，這種交換沒有任何的意義，但是可以看到，這個(gè)結(jié)構(gòu)只涉及r357c13b147這8個(gè)區(qū)域，而這8個(gè)區(qū)域都不會(huì)因?yàn)閯偛诺慕粨Q而改變其它的候選數(shù)信息，畢竟剛才的交換，只是這6個(gè)單元格內(nèi)部的交換，而交換的數(shù)據(jù)對(duì)于這8個(gè)區(qū)域來說全部都是數(shù)對(duì)數(shù)組形式，這便回到了UR的形成致命形式的論證過程：在結(jié)構(gòu)所有涉及的區(qū)域上都產(chǎn)生了獨(dú)贏的數(shù)對(duì)數(shù)組形式，而僅僅是這些數(shù)對(duì)數(shù)組的刪數(shù)，而不會(huì)對(duì)其它任何的單元格造成任何填數(shù)的影響（其它的單元格的填數(shù)狀態(tài)和候選數(shù)數(shù)據(jù)信息全部是一致的）。如果題目唯一解，就不會(huì)產(chǎn)生這種現(xiàn)象：因?yàn)槲ㄒ唤獾念}目，對(duì)于每一個(gè)單元格而言，都只能有唯一的一種填數(shù)情況，顯然這6格就已經(jīng)不滿足要求了：其余單元格的候選數(shù)狀態(tài)信息完全是一致的，所以這些位置的填數(shù)不論是否是唯一的，就看r357c13而言，就無(wú)法使得題目唯一解，違背唯一解的要求。所以，原假設(shè)不成立，即r3c1只能填入6。

這個(gè)技巧將唯一矩形進(jìn)行了拓展，因而成為拓展唯一矩形，簡(jiǎn)稱拓展矩形（Extended Rectangle，簡(jiǎn)稱XR，但該技巧很少用簡(jiǎn)稱，除非是一些必須簡(jiǎn)化名稱的地方才會(huì)使用）。不過一些資料里依然稱這個(gè)結(jié)構(gòu)為唯一矩形。

Part 2 區(qū)塊類型（XR Type 2）

如圖所示，如果r46c9(5)同時(shí)消失的話，r46c269將只剩下7、8、9，形成拓展矩形的致命形式，所以r46c9(5)必須至少有一個(gè)是對(duì)的填數(shù)，而由于它們同宮，所以組成區(qū)塊，刪除r5c9(5)。

Part 3 數(shù)組類型（XR Type 3）

如圖所示。這個(gè)例子希望你自行理解和推理。它只是將拓展矩形和UR的數(shù)組類型并在一起使用了，你可以試試看。提示一下，這個(gè)例子里使用的是帶隱性數(shù)對(duì)的數(shù)組類型。

Part 4 共軛對(duì)類型（XR Type 4）

如圖所示，我們可以聚焦于r46c368六個(gè)單元格?？梢钥吹?，其中r46c68四個(gè)單元格只含有1、2、7；而c3存在r46c3(1)的共軛對(duì)。此時(shí)我們就可以這么想：因?yàn)閞46c3(1)必須有一個(gè)是正確的數(shù)字，那么這兩個(gè)單元格里的另外一個(gè)單元格就不能填入7，否則兩個(gè)單元格形成1和7的顯性數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)，并和旁邊r46c68組成拓展矩形，并形成關(guān)于1、2、7的致命形式，即r4c368的填數(shù)就可以上下交換，放到r6c368里；同理，r6c368的填數(shù)就換到r4c368來，于是出現(xiàn)致命形式。所以為了規(guī)避致命形式的出現(xiàn)，r46c3 <> 7。

Part 5 胖矩形和瘦矩形（Fat?XR & Fit?XR）

如圖所示，這一則示例里，它不太像是前面的兩則示例，因?yàn)樗孟袷前丫匦谓Y(jié)構(gòu)“旋轉(zhuǎn)”了一下，放在了兩個(gè)宮里。但是推理的邏輯則是完全一樣的。

我們假設(shè)r13c3(9)全部消失于盤面里（即當(dāng)它們不存在），而假設(shè)r123c3的填數(shù)分別是a1、a2和a3；而假設(shè)r123c7的填數(shù)分別是b1、b2和b3。然后我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)結(jié)構(gòu)涉及r123c37b13七個(gè)區(qū)域，而這七個(gè)區(qū)域下，如果我們將下標(biāo)相同的數(shù)值交換一下，只是將這7個(gè)區(qū)域的數(shù)組結(jié)構(gòu)內(nèi)部的填數(shù)進(jìn)行了交換，而不會(huì)影響外部的填數(shù)情況和候選數(shù)信息。所以這便產(chǎn)生了兩種填法，違背了唯一解的要求，進(jìn)而產(chǎn)生矛盾。

所以為了規(guī)避這一點(diǎn)，我們的假設(shè)就錯(cuò)誤了，即r13c3(9)不能同時(shí)消失于盤面里，它們倆必須至少有一個(gè)9是對(duì)的。

這種構(gòu)型好比是旋轉(zhuǎn)了矩形，但推理和拓展矩形的思路和邏輯完全一樣，所以也算作一種拓展矩形的變體。

我們?cè)賮砜匆粍t這樣長(zhǎng)的矩形的示例。

如圖所示。如果r89c7兩個(gè)單元格都只有1、4、8的話，顯然這兩列的填數(shù)是可以左右互換的，所以產(chǎn)生了致命形式，這樣填是不行的。

但是反過來，如果兩個(gè)單元格都只有2和3的話，顯然也不行，因?yàn)閏7上還有一個(gè)單元格只有2和3，如果r89c7都只有2和3了，則這兩個(gè)單元格顯然就構(gòu)成了數(shù)對(duì)形式，而上面r2c7就無(wú)法填數(shù)了，所以也矛盾了。

因此，我們不得不拿出r89c7的其中一個(gè)單元格，讓它只能填入數(shù)字2和3。這樣一來，r2c7就只有2和3，與之將產(chǎn)生數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)，所以c7其余單元格都不能填入2和3，刪掉它們。

Part 6 8格的XR

如圖所示，我們假設(shè)r8c1只有候選數(shù)6和7，則就可以按照假設(shè)填數(shù)的方式，然后產(chǎn)生左右交換，進(jìn)而對(duì)于結(jié)構(gòu)涉及的r1358c12b147這些區(qū)域里產(chǎn)生“交換也不會(huì)影響數(shù)對(duì)數(shù)組”的違背唯一解要求的現(xiàn)象，進(jìn)而形成致命形式，產(chǎn)生矛盾。所以r8c1 <> 67。

Part 7 10格的XR

和上一則示例的推理思路類似，假設(shè)r67c4(5)同時(shí)不存在的時(shí)候，填數(shù)則可以左右交換，然后產(chǎn)生致命形式，然后矛盾。所以r67c4(5)至少有一個(gè)成立，那么就可以當(dāng)作一個(gè)廣義的區(qū)塊那樣，刪除所在行的其余位置的5。

Part 8 12格的XR

這一則示例的推理邏輯完全一樣，只是這一次是橫著看，上下交換。

Part 9 14格的XR

如圖所示，最后這一則例子可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)基本上已經(jīng)占滿了c12。不過推理方式類似，假設(shè)數(shù)值，然后左右交換。

Part 10 原理進(jìn)一步剖析

10-1?拓展矩形必須涉及偶數(shù)個(gè)單元格嗎？

顯然，我們可以說明的是，這是一句廢話。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)不可能缺少任意一個(gè)可以形成矩形形狀單元格，否則根本沒辦法進(jìn)行上下或左右的交換操作。

10-2?為什么例子左右或上下對(duì)應(yīng)位置的候選數(shù)完全一樣？

這個(gè)巧合實(shí)際上并非是一種巧合，這個(gè)結(jié)構(gòu)實(shí)際上只是通過對(duì)應(yīng)位置交換而產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)，而這個(gè)結(jié)構(gòu)的候選數(shù)的情況僅僅需要看所處行列的填數(shù)信息；而可以仔細(xì)觀察所處行列，這些數(shù)字都是一樣的，所以它們的候選數(shù)情況基本上是一樣的。

10-3?拓展矩形最大能涉及多少個(gè)單元格？

實(shí)際上，拓展矩形和唯一環(huán)有著些許關(guān)聯(lián)，比如這個(gè)問題。答案和唯一環(huán)完全一樣，也是14。原因也很相似：如果是18，則這兩行或兩列就沒有任何的確定值了。換句話說，這兩行的填數(shù)就一定能上下或左右直接置換，所以這種情況必然是兩種填法。

而如果是16的話，則意味著有一對(duì)是確定值，上下或左右對(duì)應(yīng)起來；而要使得數(shù)字上下可以完全交換，這兩個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)字就必須是一樣的，才能使得剩余的空格上下或左右置換，而這種情況顯然不可能，畢竟對(duì)應(yīng)的填數(shù)是一樣的，這便違背了同一行列有相同數(shù)字的規(guī)則。

所以，綜上，最多的情況是14。

技巧信息

拓展矩形的所有類型都和唯一環(huán)的所有對(duì)應(yīng)類型的難度計(jì)算方式相同。

名詞解釋

本節(jié)內(nèi)容沒有新的術(shù)語(yǔ)詞。