靜電場（二）

2023-01-22 18:51 作者:素櫻羅的paper 0人讀過 | 我要投稿

這一篇文章接著上期電場，講電荷連續(xù)分布與高斯定理。這里是上一篇文章傳送門，講的是庫侖定律與電場概念。靜電場（一）

上期最后留了一個(gè)題目，這里給出答案：

下面講電荷連續(xù)分布。宏觀上看帶電體是可以把電荷看成連續(xù)分布的，有體分布，面分布，線分布，這時(shí)引入體/面/線電荷密度。

對于一個(gè)帶電體，有dq=ρdV，ρ為體電荷密度。如果電荷分布很薄一層，無須研究縱向分布，便可看作面分布，面就是幾何面，有dq=σdS，σ為面電荷密度。如果電荷分布可以看作分布在一根幾何線上，就有dq=λdl，λ為線電荷密度。

處理連續(xù)帶電體時(shí)往往用微元法，無限分割成點(diǎn)電荷組，最后用積分疊加。通過一個(gè)例題感受一下：

試求一帶電圓形線軸線上的場強(qiáng)分布。電量為Q，半徑為R。

從這個(gè)題我們也能發(fā)現(xiàn)，對稱性分析是電磁學(xué)里一個(gè)威力強(qiáng)大的武器，今后很多電磁學(xué)的問題都可以用對稱性分析簡化問題。

下面讀者朋友用上面學(xué)的方法練習(xí)一下吧：

試求一根長度為l，電量為Q的帶電線中垂面上場強(qiáng)分布。

由第一個(gè)例題我們還能舉出很多題目，比如我把圓形線改成圓面，球體，或者正方形線框等等求軸線上場強(qiáng)。我們要學(xué)會舉一反三。

在說高斯定理之前，我們先進(jìn)行鋪墊。先講電場“通量”。通過通量與環(huán)量（下一篇講）的引入，我們就有高斯定理和環(huán)路定理描述靜電場。后面學(xué)習(xí)磁場也是這樣的。

可以這樣認(rèn)為，場是一部分空間中連續(xù)分布的量的總和，有標(biāo)量場（如溫度分布形成的場）與矢量場（如流速分布形成的場），電場顯然是個(gè)矢量場。我們就借助流速場來描述看不見的電場。

這一篇文章看通量?？梢韵胂罅魉賵鲋辛黧w流出的“源”與流入的“匯”，流速場中可用流量表示出來。

在閉合面S上取一面元dS，乘以該處外法線單位矢量就得到面元矢量dS。將該處速度矢量v與dS點(diǎn)乘得到單位時(shí)間流過面元的流體體積vdScosθ，而對于閉合面S：

若該式大于0，則有流體從S中流出，S中有源（如上圖）；若該式小于0，則有匯。若等于0，則無源無匯，或是流入與流出抵消，取更小的閉合面再算流量來分辨。

電場雖然沒啥東西在流動，但仍可以類比流速場，計(jì)算電場對閉合面的面積分（把上式中v改為E），稱為通量。

下面正式定義電通量（ΦE）：

通過dS的電通量為dΦ=E·dS=EdScosθ，（電通量應(yīng)該寫作ΦE的，但我偷懶，下面統(tǒng)一寫成Φ）其物理意義為穿過dS的電場線根數(shù)。它跟我們學(xué)過的場強(qiáng)有何關(guān)系呢？這里就人為定義一個(gè)電場線數(shù)密度：令單位面積內(nèi)電場線根數(shù)等于該處場強(qiáng)大小，且這個(gè)面是垂直于電場線的。這樣，我們也能從電場線疏密程度反映場強(qiáng)大小，就像等高線地形圖里等高線越密該地越陡，看著更直觀。但是請不要把電通量與電場線數(shù)密度混淆，它們數(shù)值上是相等的，但就像化學(xué)里的式量與摩爾質(zhì)量，數(shù)值相同但意義不同。電場線到底是人為假想的，并不存在，所以所謂“電場線數(shù)密度”其實(shí)并不存在，只是定義出來可以與場強(qiáng)有關(guān)系，但電通量是存在的。

把目光從面元轉(zhuǎn)向整個(gè)面，對于一個(gè)面的電通量就要把面元電通量疊加，就要積分。對于一個(gè)任意曲面的電通量即為dΦ對該面的面積分，對于一個(gè)閉合面那就在面積分上畫個(gè)圈（見上面那個(gè)表示流量的式子）。這里還要統(tǒng)一規(guī)定一下面元矢量的方向，取閉合曲面外法線方向。比如下圖中穿出的地方θ1＜π/2，dΦ1＞0，穿入的地方θ2＞π/2，dΦ2＜0。