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做了一題圓錐曲線證明題，這是他大腦發(fā)生的變化

2023-01-29 11:02 作者:一氧化二氫天體 0人讀過 | 我要投稿

前排提示：文章會比較繞一點，要仔細閱讀

上個學(xué)期初在學(xué)習(xí)圓錐曲線的時候看到了一題證明蝴蝶定理的題：

過圓AB弦的中點M，任意做兩條弦CD和EF，CF和ED交弦AB于P，Q。求證PM=QM

答案使用了曲線系證明：

以 $M$ 為原點， $AB$ 所在直線為 $x$ 軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓方程 $x%5E2%2B(y-b)%5E2%3Dr%5E2%20%20%20(%5Cvert%20b%20%5Cvert%20%3Cr)$

設(shè)直線 $CD%EF%BC%8CEF$ 的方程分別為

$y%3Dk_%7B1%7D%20x%2Cy%3Dk_%7B2%7D%20x$

將它們合并為

$(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

于是過點 $CDEF$ 的曲線系方程為

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7D%20x)%3D0$

令 $y%3D0$ ，得

$x%5E2(1%2B%5Clambda%20k_%7B1%7Dk_%7B2%7D%20)%20%2Bb%5E2-r%5E2%3D0$

即過點 $CDEF$ 的曲線系與 $AB$ 交于點 $P%EF%BC%8CQ$ 的橫坐標(biāo)是方程

$x%5E2(1%2B%5Clambda%20k_%7B1%7Dk_%7B2%7D%20)%20%2Bb%5E2-r%5E2%3D0$ ?的兩根，

由韋達定理得 $x_%7BP%7D%2B%20x_%7BQ%7D%20%3D0$ ,即 $M$ 是 $PQ$ 的中點，故 $PM%3DQM$

當(dāng)我第一次看到這個答案時我覺得就覺得哪里很奇怪，于是我和同學(xué)去請教老師，但老師給出的解釋沒有聽明白，但老師認為這個證明是對的（只好作罷離去）。

之后復(fù)習(xí)的時候我又一次看到了這道題，我那時反而覺得答案順理成章，是一個漂亮的，簡潔的證明。

但現(xiàn)在我又又又返回去回顧時，發(fā)現(xiàn)事情有點不對勁，但這次終于可以把它表述出來了（*發(fā)出得意的鳴叫）：既然

過點 $CDEF$ 的曲線系方程為

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

是一個最高項為二次的方程，那么你不管怎么去拿一條直線去截它，它與你拿出來的那條直線的交點就不可能超過兩個，換句話說，我們不可能在這個曲線系方程的圖像中找到不同的三個點，這個三點還共線。那么我們也就可以大膽地說

過點 $CDEF$ 的曲線系與 $AB$ 交于點 $P%EF%BC%8CQ$ 的橫坐標(biāo)并不是方程

$x%5E2(1%2B%5Clambda%20k_%7B1%7Dk_%7B2%7D%20)%20%2Bb%5E2-r%5E2%3D0$ ?的兩根，那么答案又為什么恰好對的上呢？

難道只是個巧合嗎？

直覺告訴我們沒這么簡單

圓錐曲線和三點共線它們之間有什么樣的關(guān)系呢？

換一種問法答案可能就呼之欲出：圓錐曲線確實不管拿直線怎么截都最多只有兩個交點，但什么樣的圓錐曲線可以使得在這個曲線上的第三個點無限靠近這條直線呢？

3

2

1

答案就是雙曲線！因為雙曲線有兩條漸進線，我們可以讓漸近線去逼近那兩條直線，我們通過調(diào)整 $%5Clambda%20$ 的值使得這條

過點 $CDEF$ 的曲線系方程無限去與直線 $ED%EF%BC%8CCF$ 擬合

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7D%20x)%3D0$

接下來是錯誤示范

“

但是，由于這種擬合永遠只能靠近，而不能達到，而 $%5Clambda%20$ 的取值范圍又是 $%EF%BC%88-%E2%88%9E%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%EF%BC%89$

所以無限擬合的時候 $%5Clambda%20$ 一定不是趨近某個取得到的具體的實數(shù)值，而是我們永遠無法到達的真實，那么只剩下兩種選擇： $-%E2%88%9E%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E$

接下來僅以正無窮代入來說明（負無窮同理）

當(dāng) $%5Clambda%20%3D%2B%E2%88%9E$ 時：

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7D%20x)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$ 中的

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2$ 在右邊含 $%5Clambda%20$ 的那一項的對比之下，其對整體的影響越來越小，所以可以忽略不計，只剩下 $(y-k_%7B1%7D%20x)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

”

果真如此嗎？

其實并不是

$(y-k_%7B1%7D%20x)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$ 的圖像其實是此時圓錐曲線去無限逼近直線 $CD%EF%BC%8CEF$ 而不是 $ED%EF%BC%8CCF$ ，那么我上面的分析哪里有問題呢？這個問題其實和我上面的

“

過點 $CDEF$ 的曲線系方程為

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7Dx%20)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

是一個最高項為二次的方程，那么你不管怎么去拿一條直線去截它，它與你拿出來的那條直線的交點就不可能超過兩個

”

有關(guān)系（提示：和紅色的部分有很大關(guān)系）

歡迎大家在評論區(qū)討論（能論述清晰的同志獎勵置頂一個[doge]）（嘖嘖，其實就是自己懶）

但是無論如何，我們可以確定的是：當(dāng) $%5Clambda%20$ 取遍所有實數(shù)時，它的圖像一定是包含了所有的，會過 $CDEF$ 的曲線，那么一定包含了漸近線無限趨近于直線 $ED%EF%BC%8CCF$ 的雙曲線，因此我們可以說這個雙曲線與 $x$ 軸的交點就會無限趨近點 $Q%EF%BC%8CP$ ，這樣才可以完成證明，但是很明顯，原來給出的答案并沒有考慮到這一點

別急（接下來要開始繞了）

從上面我們就可以看出， $M$ 總是會平分過點 $CDEF$ 的二次曲線與 $x$ 軸交點的連線段，但這兩個交點并不一定是點 $Q%EF%BC%8CP$

（其實是可以的，因為通過調(diào)整 $%5Clambda%20$ 的值可以使

$x%5E2%2B(y-b)%5E2-r%5E2%2B%5Clambda%20(y-k_%7B1%7D%20x)(y-k_%7B2%7Dx%20)%3D0$

$%5Calpha%5Cbeta%20%20%3D0$ ：假設(shè) $ED$ 方程為 $%5Calpha%20%3D0$ ， $CF$ 方程為 $%5Cbeta%20%20%3D0$ （這就是上面疑問的答案，此時的 $%5Clambda%20$ 是一個可以取得到的值，我們拿直線（這個直線就要看成x*軸， $ED$ 和 $CF$ 的表達式就要用以x*軸當(dāng)作新的坐標(biāo)軸去寫，此時有可能會使這個 $%5Calpha%5Cbeta%20%20%3D0$ 是個恒成立的式子，其實就是 $ED$ 或 $CF$ 的方程中有一條可以寫成 $y*%3D0$ ，那么就有可能三點共線，其實就是 $ED$ 或 $CF$ 中有一條直線和x*軸重合，先挖個坑）去截就有可能導(dǎo)致交點有無數(shù)個，這時候在新坐標(biāo)系下它的表達式就不是二次的，而是零次的））（不知道有沒有人理解了上面括號里的東西，先挖坑以后再填）